微分方程建模

1、微分方程建模是數(shù)學(xué)建模的重要方法，因?yàn)樵S多實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述將導(dǎo)致求解微分方程的定解問(wèn)題。把形形色色的實(shí)際問(wèn)題化成微分方程的定解問(wèn)題，大體上可以按以下幾步：1.根據(jù)實(shí)際要求確定要研究的量(自變量、未知函數(shù)、必要的參數(shù)等)并確定坐標(biāo)系。2.找出這些量所滿(mǎn)足的基本規(guī)律(物理的、幾何的、化學(xué)的或生物學(xué)的等等)。3.運(yùn)用這些規(guī)律列出方程和定解條件。列方程常見(jiàn)的方法有：（i）按規(guī)律直接列方程在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中許多自然現(xiàn)象所滿(mǎn)足的規(guī)律

2、已為人們所熟悉，并直接由微分方程所描述。如牛頓第二定律、放射性物質(zhì)的放射性規(guī)律等。我們常利用這些規(guī)律對(duì)某些實(shí)際問(wèn)題列出微分方程。（ii）微元分析法與任意區(qū)域上取積分的方法自然界中也有許多現(xiàn)象所滿(mǎn)足的規(guī)律是通過(guò)變量的微元之間的關(guān)系式來(lái)表達(dá)的。對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，我們不能直接列出自變量和未知函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系式，而是通過(guò)微元分析法，利用已知的規(guī)律建立一些變量（自變量與未知函數(shù)）的微元之間的關(guān)系式，然后再通過(guò)取極限的方法得到微分方程，或等價(jià)地

3、通過(guò)任意區(qū)域上取積分的方法來(lái)建立微分方程。（iii）模擬近似法在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科中，許多現(xiàn)象所滿(mǎn)足的規(guī)律并不很清楚而且相當(dāng)復(fù)雜，因而需要根據(jù)實(shí)際資料或大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，提出各種假設(shè)。在一定的假設(shè)下，給出實(shí)際現(xiàn)象所滿(mǎn)足的規(guī)律，然后利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法列出微分方程。在實(shí)際的微分方程建模過(guò)程中，也往往是上述方法的綜合應(yīng)用。不論應(yīng)用哪種方法，通常要根據(jù)實(shí)際情況，作出一定的假設(shè)與簡(jiǎn)化，并要把模型的理論或計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況進(jìn)行對(duì)照驗(yàn)證，以修改模型使之更

4、準(zhǔn)確地描述實(shí)際問(wèn)題并進(jìn)而達(dá)到預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)的目的。我們將利用上述方法討論具體的微分方程的建模問(wèn)題。二、人口預(yù)測(cè)模型二、人口預(yù)測(cè)模型由于資源的有限性當(dāng)今世界各國(guó)都注意有計(jì)劃地控制人口的增長(zhǎng)為了得到人口預(yù)測(cè)模型必須首先搞清影響人口增長(zhǎng)的因素而影響人口增長(zhǎng)的因素很多如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭(zhēng)等諸多因素如果一開(kāi)始就把所有因素都考慮進(jìn)去，則無(wú)從下手.因此先把問(wèn)題簡(jiǎn)化建立比較粗糙的模型再逐步修改得到較完善的模型.例1

5、（馬爾薩斯（Malthus）模型）英國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯（1766—1834）在擔(dān)任牧師期間查看了教堂100多年人口出生統(tǒng)計(jì)資料發(fā)現(xiàn)人口出生率是一個(gè)常數(shù)于1789年在《人口原理》一書(shū)中提出了聞名于世的馬爾薩斯人口模型他的基本假設(shè)是：在人口自然增長(zhǎng)過(guò)程中凈相對(duì)增長(zhǎng)（出生率與死亡率之差）是常數(shù)即單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與人口成正比比例系數(shù)設(shè)為在此假設(shè)下推導(dǎo)并求解人口隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型.r解設(shè)時(shí)刻的人口為把當(dāng)作連續(xù)、可微函數(shù)處理（因人口總t

6、)(tN)(tN數(shù)很大可近似地這樣處理此乃離散變量連續(xù)化處理）據(jù)馬爾薩斯的假設(shè)在到時(shí)間段內(nèi)人口的增長(zhǎng)量為ttt??ttrNtNttN?????)()()(并設(shè)時(shí)刻的人口為于是0tt?0N???????，，00)(ddNtNrNtN這就是馬爾薩斯人口模型用分離變量法易求出其解為)(00e)(ttrNtN??此式表明人口以指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間無(wú)限增長(zhǎng).模型檢驗(yàn)：據(jù)估計(jì)1961年地球上的人口總數(shù)為而在以后7年中人91006.3?口總數(shù)以每年2%的速