幾類一階微分方程的反射函數(shù)與可積性等價性研究.pdf

1、研究微分系統(tǒng)x'=X(t，x)的解的性態(tài)，不僅推動著微分方程理論的發(fā)展，同時對研究客觀世界中物體的運(yùn)動規(guī)律也具有很大的實際應(yīng)用價值.當(dāng)微分系統(tǒng)為自治系統(tǒng)，對于它的解的性態(tài)的研究成果已有很多.而對于非自治系統(tǒng)的研究成果就相對有限了.我們知道，對于周期時變系統(tǒng)的研究，可以借助于Poincaré映射和Lyapunov變換[1-4]，但有時尋找這些變換是很困難的.
　　上世紀(jì)八十年代，Mironenko[5]創(chuàng)建了反射函數(shù)理論.利用反射函

2、數(shù)，我們可以建立周期時變系統(tǒng)x'=X(t，x)的Poincaré映射，借助它能研究該系統(tǒng)的解的定性性態(tài).我們稱具有相同反射函數(shù)的兩個微分系統(tǒng)類是等價的，而等價的周期系統(tǒng)的周期解的性態(tài)是相同的.所以當(dāng)研究一類復(fù)雜的非自治微分系統(tǒng)解的性態(tài)時，只需研究與該系統(tǒng)等價的簡單系統(tǒng)或自治系統(tǒng)解的性態(tài)即可.
　　Mironenko在[5-6]中研究了微分系統(tǒng)x'=X(t，x)(1)與x'=Y(t，x)(2)的等價性，得出(2)等價于(1)，當(dāng)且僅

3、當(dāng)(2)可表示為x'=Y（t，x）+Fx-1R(t，x)-R（-t，F(xiàn)）.(3)這里F(t，x)為(1)的反射函數(shù).但是對于一般微分系統(tǒng)要求出其反射函數(shù)是相當(dāng)困難的.那如何在反射函數(shù)未知的情況下，判定(1)與(2)等價？于是Mironenko在[7]中給出，若△(t，x)滿足△t+△xX(t，x)-Xx(t，x)△=0(4)時，x'=X(t,x)+α(t)△(t,x)(5)與(1)等價，這里α(t)為t的奇的純量函數(shù)，由此并推出x'=X

4、(t,x)+∑αt(t)△t(t,x)(6)也與(1)等價，這里αt(t)為奇的純量函數(shù)，△t(t，x)為(4)的解.由此可看出，求出(4)的解△(t，x)即反射積分，對判定兩個微分系統(tǒng)的等價性尤為重要.
　　Belskii在[26]中給出Riccati方程x'=a0(t)+a1(t)x+a2(t)x2和Abel方程x'=a0(t)+a1(t)x+a2(t)x2+a3(t)x3及一般多項式方程x'=n∑t=0at(t）x(t)的反

5、射積分的結(jié)構(gòu)形式，及這些方程具有這些反射積分的充分條件.
　　Veresovich[19]，Varenikova[25]研究了一個平面多項式微分系統(tǒng){ x'=a1(t)x+ a2(t)y+a3(t)x2+a4(t)xy+a5(t)y2，y'=b1(t)x+b2(t)y+b3(t)x2+b4(t)xy+b5(t)y2與其線性部分{ x'=a1(t)x+a2(t)y，y'=b1(t)x+b2(t）y等價的判定準(zhǔn)則.
　　在本文中

6、，本人主要研究了幾類一階非自治有理分式型微分方程的反射積分及逆積分因子.通過它們建立了與這些方程等價的一階微分方程類，利用逆積分因子研究了這些方程的可積性及其解的定性性態(tài).其次還研究了兩個非自治線性方程組的等價性，并給出了若干判定的準(zhǔn)則.
　　在這篇文章的第三章中，本人研究了一次有理分式方程dy/dx=b0(x)+b1(x)y/a0(x)+a1(x)y=B(x,y)/A(x,y),(A,B)=1(7)具有各種類型的反射積分的充分條

7、件，建立了與(7)等價的微分方程類.并利用這些反射積分討論了微分系統(tǒng){dx/dt=a0(x)+a1(x)y，dy/dt=b0(x)+b1(x)y(8)的逆積分因子、首次積分及其解的定性性態(tài).
　　其次研究了二次有理分式方程 dy/dx=b0(x）+b1(x)y+b2(x）y2/a0(x)+a1(x)y+a2(x)y2=Q(x，y)/P(x,y),(P,Q)=1,(9)具有二次有理分式形式的反射積分的充分條件.建立了與(9)等價的微

8、分方程類，并利用反射積分研究了微分系統(tǒng){dx/dt=a0(x)+a1(x)y+a2(x)y2，dy/dt=b0(x)+b1(x)y+b2(x)y2的逆積分因子及可積性問題及其解的定性性態(tài).
　　在第四章中，研究了兩個非自治線性微分系統(tǒng)x'=A(t)x與x'=B(t)x等價性，并給出當(dāng)它們等價時，其系數(shù)矩陣A(t)，B(t)所滿足的必要條件，以及它們等價的若干判定準(zhǔn)則.特別地，還討論了x'=A(t)x與x'=ψ(t)Cx等價時，(這