一階常微分方程解法總結(jié)

1、第一章一階微分方程的解法的小結(jié)⑴、可分離變量的方程：①、形如)()(ygxfdxdy?當(dāng)時(shí)，得到，兩邊積分即可得到結(jié)果；0)(?ygdxxfygdy)()(?當(dāng)時(shí)，則也是方程的解。0)(0??g0)(??xy例1.1、xydxdy?解：當(dāng)時(shí)，有，兩邊積分得到0?yxdxydy?)(2ln2為常數(shù)CCxy??所以)(11212CxeCCeCy???為非零常數(shù)且顯然是原方程的解；0?y綜上所述，原方程的解為)(1212為常數(shù)CeCyx?②、

2、形如0)()()()(??dyyQxPdxyNxM當(dāng)時(shí)，可有，兩邊積分可得結(jié)果；0)()(?yNxPdyyNyQdxxPxM)()()()(?當(dāng)時(shí)，為原方程的解，當(dāng)時(shí)，為原方程的解。0)(0?yN0yy?0(0?）xP0xx?例1.2、0)1()1(22????dyxydxyx解：當(dāng)時(shí)，有兩邊積分得到0)1)(1(22???yxdxxxdyyy1122???，所以有；)0(ln1ln1ln22?????CCyx)0()1)(1(22??

3、??CCyx當(dāng)時(shí)，也是原方程的解；0)1)(1(22???yx綜上所述，原方程的解為。)()1)(1(22為常數(shù)CCyx???⑵可化為變量可分離方程的方程：①、形如)(xygdxdy?解法：令，則，代入得到為變量可分離方程，得xyu?udxxdudy??)(ugudxdux??，令，有，代入得到，化uvuvvuvududv21222??????uvt?udttdudv??ttdudtut212????簡得到，，有)1(2)1(22221

4、222ttttddttttudu??????????，所以有，故代入得)(2)1ln(ln2為常數(shù)CCttu?????)(1121CeCttCu?????，到)0(31313131131121?????????????????????CxyxyCx（3）、一階線性微分方程：一般形式：)()()01xhyxadxdyxa??（標(biāo)準(zhǔn)形式：)()(xQyxPdxdy??解法：1、直接帶公式：))(()()()()()()(??????????

5、????CdxxQeedxxQeeCeydxxPdxxPdxxPdxxPdxxP2、積分因子法：，])()([)(1)(???CdxxQxxxy????dxxPex)()(?3、IVP：，)()(xQyxPdxdy??00)(yxy?????????????xxdssPdssPxxdssPdssPdtetQeyydtetQeytxtxxxxx000000)()(00)()()())((例3、1)1()1(?????nxxenydxdyx