時(shí)間尺度上Hamilton系統(tǒng)的GKN理論及譜理論.pdf

1、　　經(jīng)典力學(xué)有三種等價(jià)的數(shù)學(xué)形式體系：Newton力學(xué)體系,Lagrange力學(xué)體系,Hamilton力學(xué)體系,其中Hamilton體系具有突出的對(duì)稱形式。運(yùn)動(dòng)的規(guī)律性在Hamilton形式下表現(xiàn)得最明顯,而且Hamilton形式有遠(yuǎn)比Newton形式更廣的遍在性和普適性,一切守恒的真實(shí)物理過程都可以表示為Hamilton體系,無論這些過程是經(jīng)典的,量子的還是相對(duì)論的,無論其自由度是有限的還是無限的,總能表現(xiàn)為適當(dāng)?shù)腍amilton形式

2、。因此Hamilton系統(tǒng)在數(shù)理科學(xué),生命科學(xué)以及其它的許多科學(xué)領(lǐng)域,特別是量子力學(xué),生物工程中有著非常重要的應(yīng)用,對(duì)連續(xù)Hamilton系統(tǒng)基本理論的研究已有很久的歷史了,對(duì)離散Hamilton系統(tǒng)的研究是近三十幾年的事。隨著信息技術(shù)的發(fā)展以及數(shù)字計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用,出現(xiàn)了很多以離散Hamilton系統(tǒng)為支撐的數(shù)學(xué)模型,對(duì)離散Hamilton系統(tǒng)理論的研究也吸引了越來越多人的關(guān)注,離散系統(tǒng)理論與其對(duì)應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)理論有許多相似的地方,但也

3、有許多不同之處。這種差異性豐富了整個(gè)理論,同時(shí)也使得人們對(duì)許多連續(xù)系統(tǒng)及其相應(yīng)的離散系統(tǒng)分別加以研究。
　　對(duì)離散系統(tǒng)的研究,盡管有獨(dú)立性,但連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)在理論上還是有一種驚人的相似性或者對(duì)偶性,離散系統(tǒng)中的很多結(jié)果或多或少與其對(duì)應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)類似,并且可以通過對(duì)其相應(yīng)的連續(xù)結(jié)果離散化得到。1988年,德國的Stefan Hilger在他的博士論文中首次提出了測(cè)度鏈(Measure chains)分析,即一個(gè)把連續(xù)與離散分析統(tǒng)

4、一的數(shù)學(xué)方法。1990年Hilger和他的導(dǎo)師首次研究了非齊次時(shí)間尺度上的動(dòng)態(tài)過程,此文發(fā)表后受到數(shù)學(xué)家的廣泛關(guān)注。近年發(fā)展起來的時(shí)間尺度上的動(dòng)力系統(tǒng)為我們提供了同時(shí)研究離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)所需要的一種數(shù)學(xué)方法。作為兩個(gè)極端的例子,當(dāng)時(shí)間尺度是實(shí)數(shù)集時(shí),對(duì)應(yīng)的動(dòng)力系統(tǒng)就是微分系統(tǒng),當(dāng)時(shí)間尺度是整數(shù)集時(shí),對(duì)應(yīng)的動(dòng)力系統(tǒng)就是差分系統(tǒng)。就此而言,時(shí)間尺度上的動(dòng)力系統(tǒng)把微分系統(tǒng)和差分系統(tǒng)統(tǒng)一起來,避免了對(duì)一些同樣問題的重復(fù)研究。另一方面,時(shí)間尺度