可積與不可積的Hamilton系統(tǒng)的擾動(dòng)理論及其應(yīng)用.pdf

1、本論文綜合論述了可積及不可積系統(tǒng)的擾動(dòng)理論。首先闡述了擾動(dòng)理論最基本的方法——平均方法。該方法利用變量變換來(lái)消除擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程中的快速變量，從而將慢速運(yùn)動(dòng)和快速運(yùn)動(dòng)分離開來(lái)。論文中分別從共振情形和非共振情形考慮了這個(gè)過(guò)程。利用得到的平均方法我討論了很多特殊系統(tǒng)，如單頻率、常頻率、兩頻率以及多頻率系統(tǒng)，而且還將平均方法應(yīng)用在Hamilton系統(tǒng)上了。接下來(lái)我闡述了KAM擾動(dòng)理論及其應(yīng)用。我先給出了擾動(dòng)系統(tǒng)不變環(huán)面定理，即Kolmogorov

2、定理。該定理描述了非共振環(huán)面在一個(gè)擾動(dòng)影響下的行為，而且對(duì)于該定理的一些變形我也進(jìn)行了論述。利用KAM理論，對(duì)于多維系統(tǒng)中慢變量的擴(kuò)散速率我給出了一個(gè)指數(shù)階估計(jì)。我還考慮了低維環(huán)面上的KAM理論，它跟Hamilton系統(tǒng)條件周期運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)理論相關(guān)。我討論了其中迷向性和可約性這兩個(gè)處于中心地位的概念。然后我給出了絕熱不變量方法，描述了單頻率系統(tǒng)和多頻率系統(tǒng)中的絕熱不變量，討論了絕熱不變量的守恒性，對(duì)絕熱不變量的守恒時(shí)間、守恒精確性以及永久守

3、恒性都進(jìn)行了闡述。最后一部分我討論了不可積Hamilton系統(tǒng)，給出了證明Hamilton系統(tǒng)不可積性的Poincare方法及其應(yīng)用。利用該方法我們可以在幾乎可積Hamilton系統(tǒng)的漸近曲面分析的基礎(chǔ)上來(lái)證明其不可積性。隨后討論的擬隨機(jī)振動(dòng)理論利用的是這樣一個(gè)事實(shí):相位曲線的一個(gè)充分復(fù)雜的拓?fù)湫袨闀?huì)阻礙第一積分的存在。若這種拓?fù)鋸?fù)雜性可以顯示建立，我們就得到了系統(tǒng)的不可積性。最后我考慮了解分支對(duì)可積性的阻礙以及自然系統(tǒng)可積性的拓?fù)渥璧K