光滑Chua系統(tǒng)和分段線性Sprott系統(tǒng)的混沌機(jī)理分析.pdf

1、隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展,混沌理論在信息科學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、氣象學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用,被著名物理學(xué)家J.Ford認(rèn)為是20世紀(jì)物理學(xué)中繼量子力學(xué)和相對(duì)論之后的第三次革命。
　　 由于混沌系統(tǒng)的奇異性和復(fù)雜性至今尚未被人們徹底了解,目前國(guó)際上對(duì)混沌還沒有一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)定義,因而也就缺乏準(zhǔn)確的判定方法。目前大部分研究方法都是借助于計(jì)算機(jī)的數(shù)值模擬仿真,例如計(jì)算李氏指數(shù),獲取龐加萊截面、功率譜密度圖等,通過查看是否有大于零的

2、李氏指數(shù)、截面上是否有無數(shù)個(gè)點(diǎn)或一條線段或一曲線弧分布的點(diǎn)集、功率譜圖是否連續(xù)來判斷系統(tǒng)是否混沌。不過這種方法是不完全可靠的,因?yàn)橛?jì)算機(jī)的精度有限,而且這些數(shù)值和圖像都是在有限時(shí)間內(nèi)進(jìn)行的,只能在一定程度上反應(yīng)系統(tǒng)的性質(zhì),所以不管是數(shù)值仿真還是圖形都可能出現(xiàn)假象。例如當(dāng)從相圖上認(rèn)為一個(gè)系統(tǒng)是混沌時(shí),但它可能是一個(gè)很長(zhǎng)周期的軌道或者是擬周期軌道。因此,更可靠的混沌性判定方法是很有必要的。本文在Mees、周天壽、陳關(guān)榮等工作的基礎(chǔ)上,用待定

3、系數(shù)法和特征向量空間法對(duì)兩種光滑Chua系統(tǒng)和分段線性Sprott系統(tǒng)的混沌機(jī)理進(jìn)行了研究。
　　 全文主要研究?jī)?nèi)容包括:
　　 1.在Chua系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,通過修改非線性函數(shù),得到了一個(gè)新的具有正弦函數(shù)的多渦卷光滑Chua系統(tǒng),分析了該系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)和分岔圖,數(shù)值上確定了系統(tǒng)混沌時(shí),參數(shù)變化的范圍。本文把三次方程的求根公式和函數(shù)的極值求解法相結(jié)合,證明了當(dāng)該參數(shù)在混沌范圍內(nèi)變化時(shí),方程在平衡點(diǎn)的雅可比矩

4、陣特征值都滿足Shilnikov不等式,接著根據(jù)Hopf分岔的概念求解了系統(tǒng)的分岔點(diǎn),并證明了該分岔點(diǎn)滿足Hopf分岔?xiàng)l件。
　　 2.首次用待定系數(shù)法對(duì)具有三次多項(xiàng)式的光滑Chua系統(tǒng)異宿軌道存在性做出了證明。首先,把含有三個(gè)變量的光滑Chua系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為只含有一個(gè)變量的非線性微分方程。其次用指數(shù)形式的無窮級(jí)數(shù)展開式表示一個(gè)異宿軌,將其代入轉(zhuǎn)換后的非線性微分方中,計(jì)算整理后得到無窮級(jí)數(shù)各個(gè)系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式,可以看出各個(gè)系數(shù)均是第

5、一項(xiàng)系數(shù)的函數(shù),接著通過介值定理證明第一項(xiàng)系數(shù)的存在性,并通過計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真確定它的數(shù)值。最后證明無窮級(jí)數(shù)展開式的一致收斂性,與Shilnikov不等式相結(jié)合證明該系統(tǒng)有Smale馬蹄,因而是Shilnikov意義下的混沌。
　　 3.在Sprott系統(tǒng)基礎(chǔ)上提出了一個(gè)分段線性Sprott系統(tǒng),對(duì)其混沌機(jī)理進(jìn)行了分析。首先對(duì)該系統(tǒng)平衡點(diǎn)、分岔圖、李氏指數(shù)、穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形進(jìn)行了分析與計(jì)算。接著根據(jù)Shilnikov定理,在滿