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文檔簡介
1、應用Landweber正則化方法解決線性不適定問題
時,Landweber,F(xiàn)riedman,Bialy將方程改寫成下列形式
其迭代格式為:
該迭代法實際上是求解二次泛函極小值的以步長為a的最速下降法。
對于迭代解xm,δ到精確解x的收斂性與收斂速度,有如下結(jié)論:
(3)在用Landweber正則化方法解決線性問題時,如果對x有更強的限制,迭代序列最快以的速度收斂到精
2、確解。
將上述方法推廣到非線性不適定問題時,由于非線性問題的不適定性,方程的解往往不連續(xù)依賴于右端數(shù)據(jù)y,或者對于微小的擾動數(shù)據(jù)yδ,方程的近似解與精確解之間會相差甚遠,因此得到的解會毫無意義。
目前對于Landweber正則化在非線性不適定問題中的研究,都是通過對初始條件加以限定或者在特殊的Hilbert空間中討論其收斂性與收斂速度。本文總結(jié)了前人所做的研究,比較Landweber正則化在線性問題與非線性問
3、題中的應用,并在此基礎上,用一種帶參數(shù)的Landweber迭代方法解決該問題。
在本文中,我們都做如下假設:
(1)F(·)局部一致有界;
下面我們寫出改進的針對非線性問題的Landweber迭代形式:
其中,a是參數(shù),這是與[13]中不同的地方。
如上假設,足以保證至少內(nèi)迭代局部收斂到方程F(x)=y的解。在假設條件下,得到了如下Landweber正則化的收斂性結(jié)論
4、:
定理:令x*是非線性不適定問題F(x)=y的一個解,擾動數(shù)據(jù)滿足
得到,即擾動迭代在k*(δ)步后停止,則在假設條件下,應用
解決該問題,則迭代解
由此,我們證明了用改進的方法用來解決非線性不適定問題是可行的,在擾動數(shù)據(jù)誤差界δ下,同樣得到收斂階為O(δ1/2)限制條件相對較弱(η-1).
本文大致結(jié)構(gòu)如下,在第一章中我們介紹了不適定問題和Landweber正則法
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