一維逆時(shí)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)值解.pdf

1、在很多工程應(yīng)用領(lǐng)域里，人們常常會(huì)遇到熱傳導(dǎo)方程的逆時(shí)問(wèn)題．所謂逆時(shí)問(wèn)題就是由某一時(shí)刻的溫度場(chǎng)來(lái)求該時(shí)刻以前的溫度分布。由于該問(wèn)題是不適定的，求解此問(wèn)題就需要利用正則化方法來(lái)求解。處理該問(wèn)題的一個(gè)常用到的方法就是把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解第一類線性積分方程的問(wèn)題，再利用正則化方法求解來(lái)解此方程。
　　 本文考慮熱傳導(dǎo)模型對(duì)應(yīng)的逆時(shí)問(wèn)題的數(shù)值求解。由于正向熱傳導(dǎo)問(wèn)題的溫度場(chǎng)是隨時(shí)間呈現(xiàn)指數(shù)形式衰減的，因此要使逆時(shí)熱傳導(dǎo)問(wèn)題能得到穩(wěn)定和收斂的

2、解，必須對(duì)初始溫度函數(shù)u(x，0)附加某些先驗(yàn)條件。
　　 本文研究了兩類問(wèn)題：一是當(dāng)系數(shù)a(x)為常系數(shù)時(shí)如何求解初始溫度g(x)．對(duì)此問(wèn)題我們把正則化方程轉(zhuǎn)化為相對(duì)應(yīng)的弱耦合方程組，再用一種線性分裂的迭代的形式來(lái)數(shù)值求解，而不是用常規(guī)的方法直接求解。而對(duì)方程中的正則化參數(shù)，本文則利用近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的模型函數(shù)法方法來(lái)近似求解Morozve方程，以數(shù)值近似求解正則化參數(shù)。同時(shí)我們還分析了初始溫度g(x)滿足什么樣的先驗(yàn)條件才可以

3、得到解的收斂速度的估計(jì)，本文的第四章給出了相應(yīng)的數(shù)值算例，取得了令人滿意的數(shù)值結(jié)果。我們的數(shù)值結(jié)果表明，借助適當(dāng)?shù)倪x取正則化參數(shù)，即使初始溫度場(chǎng)的震蕩性和光滑性較弱，也能獲得相對(duì)較好的重組結(jié)果，同時(shí)也驗(yàn)證了用迭代的形式求解的有效性。
　　 二是考慮a(x)是變系數(shù)的情形，初始溫度g(x)的反演方案。在將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第一類線性積分方程時(shí)，我們面臨的一個(gè)問(wèn)題就是如何給出積分核的顯式形式。一般而言該函數(shù)只能通過(guò)數(shù)值方法求解。本文提出了

4、一種確定核函數(shù)的級(jí)數(shù)展開法，為數(shù)值反演提供了理論基礎(chǔ)。
　　 本文的工作總共分成四部分。首先介紹了逆時(shí)問(wèn)題的背景，并將此問(wèn)題歸結(jié)于第一類算子方程的求解．其次，針對(duì)常系數(shù)熱傳導(dǎo)問(wèn)題，根據(jù)其不適定性，利用Tikhonov正則化方法來(lái)求解（在求解過(guò)程中采用把正則化方程轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的弱耦合方程組，進(jìn)而利用迭代格式求解此方程組），而其中的正則化參數(shù)α是利用模型函數(shù)的方法來(lái)求解相容性原理后驗(yàn)確定的．該方法可以以很高的精度確定正則化參數(shù)，這是近