幾類二階離散哈密頓系統(tǒng)同宿軌和異宿軌的存在性.pdf

1、關(guān)于Hamilton系統(tǒng)同宿軌的研究可以追溯到Poincaré關(guān)于天體力學的工作[51]，Poincaré發(fā)現(xiàn)如果系統(tǒng)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形橫截相交，那么這個系統(tǒng)就會有非常復(fù)雜的動力學行為并且含有無限多條同宿軌.之后，Birkhoff和Smale的工作深刻揭示了Poincaré的發(fā)現(xiàn)中所蘊含的復(fù)雜動力學行為，也就是，一個具有橫截同宿軌的系統(tǒng)是混沌的[62]。因此，在非線性動力學的研究中，一個非常有意思的問題是在什么條件下我們可以證明一個

2、系統(tǒng)具有橫截同宿軌.著名的Melnikov方法對這個問題給出了部分的回答.一般說來，為了考察一個系統(tǒng)是否具有橫截同宿軌，我們首先需要證明該系統(tǒng)中有同宿軌，其次再來討論這個同宿軌的橫截性。因此，研究一個系統(tǒng)的同宿軌或者異宿軌的存在性問題對于理解一個系統(tǒng)的復(fù)雜動力學行為是非常重要的一步。
　　自從Rabinowitz在文獻[53]中使用變分方法研究一類一階連續(xù)Hamilton系統(tǒng)的周期軌存在性問題的開創(chuàng)性工作之后，越來越多的研究者發(fā)現(xiàn)

3、Hamilton系統(tǒng)具有某種變分結(jié)構(gòu)，而這種變分結(jié)構(gòu)在研究連續(xù)系統(tǒng)周期軌，同宿軌或者異宿軌的存在性問題上起到了非常重要的作用.而關(guān)于離散Hamilton系統(tǒng)相關(guān)問題研究開始不久，許多重要而有意思的問題尚待解決。利用變分方法研究同宿軌或者異宿軌的存在性，我們通常需要在一個合適的Hilbert空間上面構(gòu)造泛函，而這個泛函的非零臨界點通常是我們所關(guān)心系統(tǒng)的同宿軌或者異宿軌.我們把尋找特殊軌道的問題轉(zhuǎn)化成了尋找相應(yīng)泛函非零臨界點的問題，而變分方

4、法在尋找臨界點方面常常很有效.關(guān)于變分法方面的專著，讀者可以參見文獻[54，70]。連續(xù)Hamilton系統(tǒng)的同宿軌存在性的研究取得了許多重要進展.Rabinowitz使用周期軌來逼近同宿軌的方法證明了一類二階微分方程的同宿軌的存在性[56].Coti-Zelati和Rabinowitz討論了一類在原點和無窮遠點滿足超二次條件的一類二階Hamilton系統(tǒng)的同宿軌存在性問題[20].在文獻[65]中，Séré引入多重碰撞解，并使用變分和

5、Bernoulli轉(zhuǎn)移的方法來刻畫系統(tǒng)的復(fù)雜動力學行為.丁彥恒引入算子譜理論方面的工具研究了幾類滿足超二次或者次二次的二階連續(xù)系統(tǒng)的同宿軌的存在性問題[27]。連續(xù)系統(tǒng)異宿軌的存在性研究也得到了好多重要結(jié)果.在文獻[30]中，對一類滿足一個空間變量是周期的另一個空間變量是超線性假設(shè)的方程，F(xiàn)elmer討論了該系統(tǒng)異宿軌的存在性.在文獻[9]中，Bertotti和Montecchiari對一類二階幾乎周期系統(tǒng)證明了有無限多個異宿軌連接兩個

6、退化的平衡點.在文獻[13]中，Caldiroli和Jeanjean得到了存在一條異宿軌連接原點和一條極小的不可收縮周期軌的結(jié)論.在文獻[55]中，Rabinowitz討論了一類二階Hamilton系統(tǒng)的周期和異宿軌的存在性問題.Rabinowitz也得到了一些關(guān)于鐘擺方程中異宿軌的存在性方面的結(jié)果[60].Coti-Zelati和Rabinowitz討論了一類連接勢能函數(shù)中的兩個臨界點的同宿軌的存在性問題，其中這兩個臨界點處在不同的能

7、量層[21]。
　　對Hamilton系統(tǒng)來說，盡管變分方法在尋找同宿軌方面非常有效，但如何證明該同宿軌的橫截性仍然是一個困難的問題.因此，研究者引入“多重碰撞解”來研究Hamilton系統(tǒng)的復(fù)雜動力學行為.多重碰撞解的存在性問題，最早開始于Séré在一類一階連續(xù)Hamilton系統(tǒng)的工作[65].之后，在很多其它微分系統(tǒng)中，多重碰撞解的存在性被證明.比如，一類滿足退化條件的方程[59]，阻尼系統(tǒng)[10]，能量函數(shù)是變號的系統(tǒng)[1

8、4].關(guān)于差分方程方面的多重碰撞解的研究剛剛開始，關(guān)于差分方程同宿軌的多重碰撞解方面的研究非常少。要證明多重碰撞解的存在性通常需要完成下面幾步.首先，我們使用變分方法和極小極大方法找到一族非平凡的同宿軌，并且我們把這類同宿軌看作是“單次碰撞解”.然后，我們利用變分技巧來證明多重碰撞解的存在性，這類解在充分分開的幾個時間段內(nèi)與我們找到的單次碰撞解的距離非常近.在研究多重碰撞解的存在性中一個重要的假設(shè)是我們所考察泛函的臨界點具有某種孤立性.

9、這種孤立性的假設(shè)可以看作是比橫截性條件稍微弱一些的假設(shè)。對于一個實際系統(tǒng)進行建模和仿真對動力系統(tǒng)的研究起到了非常重要的作用.實際的計算是不能直接處理連續(xù)系統(tǒng)的，研究者通常都需要把連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的差分系統(tǒng)以便通過仿真來觀察系統(tǒng)的動力學行為.而且由于我們關(guān)心的問題不同，通常會給出不同形式的差分方程.另外，差分方程可以應(yīng)用到物理，化學，工程等研究領(lǐng)域中去.因此，差分方程的研究逐漸變得重要起來.關(guān)于離散Hamilton系統(tǒng)的研究，可以參見文

10、獻[1].最近，許多關(guān)于離散Hamilton系統(tǒng)的周期軌，同宿軌和異宿軌存在性方面的重要結(jié)果被得到了[33,35,41,45,46,86,88]。最早利用變分方法研究差分方程的結(jié)果是文獻[33]中的工作.郭志明和庾建設(shè)研究了如下的二階純量差分方程的周期解的存在性△2x(t-1)+f(t，x(t))=0.許多研究者討論了如下類型的差分方程的周期軌，同宿軌和異宿軌的存在性的問題△(p(t)△x(t-1))-L(t)x(t)=f(t,x(t)

11、),x(t)∈Rn，t∈Z,這個方程可以通過一個適當?shù)淖儞Q變成等價的離散Hamilton系統(tǒng).在文獻[46]中，馬滿軍和郭志明在p(t)，L(t)和f(t，x)關(guān)于時間變量t都是周期函數(shù)的假設(shè)下，研究了純量差分方程同宿軌的存在性問題.在文獻[45]中，在沒有p(t)和L(t)是周期函數(shù)的假定下，假設(shè)f(t，x)在原點和無窮遠處是超二次的，或者f（t,x）關(guān)于x是奇函數(shù)，馬滿軍和郭志明得到差分方程存在非平凡的同宿軌的結(jié)論.在文獻[41]中

12、，林曉艷和唐先華在對所有的t∈Z，L(t)是正定矩陣且f（t,z）滿足更一般的假設(shè)條件下證明差分方程有無限多條非平凡的同宿軌。離散系統(tǒng)的異宿軌研究剛剛起步，有許多有趣的問題尚未解決.異宿軌的存在性是通過研究特定函數(shù)空間上的使得能量達到極小的元素而得到的.在文獻[79]中，肖華峰和庾建設(shè)考察如下鐘擺方程的異宿軌存在性問題:△2x(t-1)+asin(x(t))=0,其中a∈R是參數(shù)，t∈Z，x(t)∈R.在文獻[80，88]中，肖華峰等人

13、以及張浩和李志祥研究如下差分方程的異宿軌的存在性問題:△2x(t-1）+V'x（x（t））=0，其中x(t)∈Rn，t∈Z.
　　本文主要討論三個方面的問題:一是討論了幾類二階離散哈密頓系統(tǒng)同宿軌的存在性問題;二是討論了一類二階離散哈密頓系統(tǒng)同宿軌的多重碰撞解;三是討論了一類二階離散哈密頓系統(tǒng)異宿軌的存在性問題。針對上述三個問題，本文分為四章。第一章是準備知識，介紹變分方法的基本概念和方法以及線性算子譜理論的相關(guān)知識。第二章主要研

14、究了下面的二階離散哈密頓系統(tǒng)△2x(t-1)-L(t)x(t)+V'x(t,x(t))=0,t∈Z，（*）其中△x(t-1)=x(t)-x(t-1)，△2x(t-1)=△（△x（t-1））。.對任意t∈Z，L(t)是一個n×n實對稱矩陣，V(t，·)∈C1(Rn，R)且V'x(t，0)≡0.我們的結(jié)果可以看作丁彥恒的結(jié)果的離散對應(yīng)[27].之前關(guān)于差分方程同宿軌存在性的方面的工作通常假設(shè)對所有的t∈Z，L(t)是正定矩陣.在第二章中，我

15、們利用差分算子譜理論來減弱這個假設(shè).我們假設(shè)V(t，·)滿足超二次或者次二次假設(shè).我們不需要假設(shè)L和V是關(guān)于時間的周期函數(shù)，以及對所有的t∈Z，L(t)都是正定矩陣，我們證明了該差分方程至少存在一條非平凡的同宿軌.進一步，如果V(t，x)是超二次的并且關(guān)于x是偶函數(shù)，則該差分方程存在無限多條非平凡的同宿軌.為了說明所得到結(jié)果，我們給出了兩個具體例子。在第三章中，我們研究二階離散哈密頓系統(tǒng)（*）.我們假設(shè)V(t，·)是變號函數(shù)，L和V是周

16、期函數(shù).我們首先證明同宿軌的存在性.然后，假設(shè)臨界點滿足孤立性條件，我們研究了多重碰撞解的存在性.在差分方程方面，多重碰撞解的研究剛剛開始.據(jù)我們所知，我們還沒有見到相關(guān)文獻討論差分方程同宿軌的多重碰撞解的問題.我們的結(jié)果可以看作Caldiroli和Montecchiari的結(jié)果的離散對應(yīng)[14]。在第四章中，我們研究下面一類二階離散哈密頓系統(tǒng)異宿軌的存在性問題:△2x(t-1)-μL(t)x(t)+W'x(t,x(t)，δ)=0,t∈

17、Z,其中W(t，x，δ)=a(t)V(x，δ），x∈Rn;△x(t-1)=x(t)-x（t-1），△2x(t-1)=△(△x(t-1));對任意t∈Z，L(t)是正定矩陣;a(·):Z→R是周期函數(shù);V(·，δ)∈C2(Rn，R)，并且V(x，·)是連續(xù)的;μ∈[0，1]和δ∈[0，δ0]是參數(shù)且δ0＞0.在一定的假設(shè)條件下，我們得到若δ和μ充分小，則存在一條異宿軌連接函數(shù)V(x，δ)的兩個具有不同臨界值的臨界點。當μ=0時，我們的結(jié)果