整數(shù)的k次冪之和表素?cái)?shù)問(wèn)題.pdf

1、整點(diǎn)問(wèn)題是數(shù)論中的一類(lèi)重要問(wèn)題，Gauss和Dirichlet最先研究了這類(lèi)問(wèn)題并提出了兩個(gè)著名的論斷，即“關(guān)于圓內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)的Gauss問(wèn)題”和“Dirichlet除數(shù)問(wèn)題”.設(shè)C(R)表示圓x2+y2≤R內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)，Gauss證明了C(R)=πR+△(R),△(R)=O(√R).(1)之后，很多數(shù)學(xué)家([8,9,13,14,16,21])研究了這一問(wèn)題并對(duì)上式中的余項(xiàng)做出了改進(jìn).1993年，Huxley[9]將上式中的余項(xiàng)改進(jìn)至O（

2、R23/73+ε）.之后，Hux-ley[10]又將(1)式中的余項(xiàng)改進(jìn)至O（R131/416+ε），這是目前最好的結(jié)果.另一問(wèn)題是Dirichlet研究的雙曲線(xiàn)下的整點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.記D(R)表示在第一象限中雙曲線(xiàn)xy=R與兩個(gè)坐標(biāo)軸所圍成區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)，則D(R)=∑n≤R(τ)(n)，其中τ(n)為除數(shù)函數(shù).因此這一問(wèn)題又稱(chēng)為除數(shù)問(wèn)題.Dirichlet首先證明了D(R)=R(lnR+2γ-1)+△1(R)，△1(R)=O(√R).

3、(2)之后，上式中的余項(xiàng)不斷被改進(jìn)([11,13,17,18,21]).1985年，Kolesnik[14]將上式的余項(xiàng)改進(jìn)至O（R139/429+ε）.目前最好的結(jié)果是由Huxley[10]得到的，他將(2)式余項(xiàng)改進(jìn)至O（R131/416+ε）.此外，陳景潤(rùn)[2]和Vinogradov[20]分別研究了三維球面內(nèi)滿(mǎn)足n21+n22+n23≤x的整點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，證明了∑m21+m22+m23≤x mi∈z1=4/3πx3/2+O(x2/

4、3).后來(lái)Chamizo[1]和Heath-Brown[6]分別對(duì)上述結(jié)果的余項(xiàng)做出了改進(jìn).
　　之后，許多數(shù)學(xué)家還研究了若干個(gè)整數(shù)的齊次方和表素?cái)?shù)的問(wèn)題.記Rs,k(x）=∑mk1+mk2+…+mks≤xΛ(mk1+mk2+…mks).(3)2012年，郭汝庭和翟文廣[4]對(duì)上式中s=3和k=2的情況進(jìn)行了研究，證明了對(duì)任意取定的常數(shù)A＞0，有R3,2(x)=Bx3/2+O(x3/2log-A x),其中B是某一個(gè)確定的常數(shù).2

5、014年，胡立群[7]還考慮了(3)式中s=4和k=2的情況，證明了對(duì)于任意取定的常數(shù)A＞0，有R4,2(x)=Cx2+O(x2log-Ax),其中C為某一個(gè)確定的常數(shù).
　　本文對(duì)更一般的s和k研究了(3)式并得到了如下結(jié)果.
　　定理1設(shè)Rs，k(x)如(3)式定義，那么當(dāng)k≥2,k為偶數(shù)且s≥k2+k+1時(shí)，有Rs,k(x)=2sB0I0xs/k+O(xs/k log-C x),其中C＞0是一個(gè)任意取定的常數(shù)，并且B0