素數(shù)冪階子群與有限群結(jié)構(gòu)的研究.pdf

1、討論有限群G的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)時，我們常常借助于其子群的性質(zhì).眾所周知，有限群的素數(shù)冪階子群在有限群理論的研究中起著極其重要的作用.本文的主要目的，是研究Fitting子群、廣義Fitting子群的極小子群及Sylow子群的某些極大子群對群結(jié)構(gòu)的影響. 全文的主要部分分為兩個部分，具體安排如下： 第一章，介紹本文的歷史背景及發(fā)展?fàn)顩r. 第二章，回憶苗龍、郭文彬在文《某些準(zhǔn)素群F-s-可補(bǔ)的有限群》(Comm.inAlg

2、ebra，2005，Vol.33，No.8，2789-2800)中首次引入的F-s-可補(bǔ)概念：定義1設(shè)F是一個群類.群G的子群H在G中稱為F-s-可補(bǔ)的，如果存在G的子群K，使得G=HK且K/(K∩HG)∈F，其中HG=∩g∈GHg是包含在H中的群G的最大正規(guī)子群.此時K也稱為H在G中的一個F-s-補(bǔ).特別地，H在G中稱為超可解-s-補(bǔ)的，如果存在G的子群K，使得G=HK且K/(K∩HG)超可解.類似的，H在G中稱為p-冪零-s-補(bǔ)的，

3、如果存在G的子群K，使得G=HK且對于某個素數(shù)p，K/(K∩HG)是p-冪零的. 我們知道超可解-s-補(bǔ)子群和補(bǔ)子群是不同的. 一方面，超可解-s-補(bǔ)子群不是補(bǔ)子群. 例如：設(shè)G是階為pn的循環(huán)群，其中n＞1.易知G是超可解的，G有唯一的極小子群X且X在G中是超可解-s-補(bǔ)的.但X在G中是不可補(bǔ)的. 另一方面，補(bǔ)子群不是超可解-s-補(bǔ)子群. 例如：設(shè)G=Z5×S4.易知Z5在G可補(bǔ).但S4/Z5∩

4、S4≌S4不是超可解的. 本章討論部分子群的極小子群超可解-s-可補(bǔ)的有限群的結(jié)構(gòu)，主要是利用Fitting子群F(G)取代原來的G，推廣了原有的已知結(jié)果.進(jìn)而再用廣義Fitting子群F*(G)取代Fitting子群F(G)的方法，將結(jié)論中的‘可解性’的假設(shè)去掉，于是得到一系列有限群結(jié)構(gòu)的刻劃，最后利用Formation理論將上述結(jié)果作進(jìn)一步的推廣得到如下新結(jié)果： 定理A設(shè)F是包含u的飽和群系，G是一有限群.則下面結(jié)論

5、等價： (a)G∈F (b)存在G的可解正規(guī)子群(或正規(guī)子群)N使得G/N∈F且F(N)(或F*(N))的所有素數(shù)階子群在G中均有超可解-s-補(bǔ). 本章節(jié)的主要內(nèi)容已刊登在《廣西科學(xué)》. 第三章，我們給出如下定義： 定義2設(shè)d是一p-子群P的極小生成元個數(shù)，令Md(P)={P1，...，Pd}是由M(P)中的元素構(gòu)成的集合，且滿足∩di=1Pi=φ(P).已知|M(P)|=(pd-1)/(p-1)

6、，|Md(P)|=d且有l(wèi)imd→∞(pd-1/p-1)/d=∞，因此|M(P)|＞＞|Md(P)|. 本章節(jié)主要利用Md(P)研究有限群的結(jié)構(gòu)，很大程度上改進(jìn)了一些最近的相關(guān)結(jié)果.我們得到： 定理B對一有限群G，下面結(jié)論等價： (a)G是超可解的. (b)存在G的正規(guī)子群H使得G/H是超可解的且對H的任意SylowP，對某個固定的Md(P)，該集合的任一元素在G中是c-正規(guī)(或S-擬正規(guī)嵌入)的.