高考數學總復習：解決與三角形相關的取值范圍問題

1、1解決與三角形相關的取值范圍問題 解決與三角形相關的取值范圍問題 例 1：在銳角 中， ，則 的取值范圍是 ABC ? 2 A B ? cb解析 解析：由0 2 2 2 A B C A B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且0得 ，所以 6 4 B ? ? ? ? 2 sin sin3 sin 2 cos cos2 sin 4cos 1 sin sin sinc C B B B B B B b B B B? ?

2、 ? ? ? ?，又 所以2 3 cos ( , ) 2 2 B? 2 4cos 1 (1,2) c B b ? ? ?點評 點評：①本題易錯在求 的范圍上，容易忽視“ 是銳角三角 B ABC ?形”這個條件。②本題涉及三角形邊角之間的關系，考察邊角互化，化多元為一元，體現了解題的通性通法。 例 2：若 的三邊 成等比數列， 所對的角依次為 ABC ? , , a b c , , a b c , , A B C，則 的取值范圍是

3、 sin cos B B ?解析 解析：由題設知 ，又余弦定理知 2 b ac ?2 2 2 2 2 2 1 cos 2 2 2 2a c b a c ac ac ac B ac ac ac? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 ，又 所以 0 3 B ? ? ? 7 sin cos 2 sin( ) 4 4 4 12 B B B B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且即 的取值范圍是 。 2 sin( ) (1, 2]

4、 4 B ? ? ? sin cos B B ? (1, 2]點評 點評：本題將數列、基本不等式、三角函數、解三角形等知識結合起來，有利于提高學生解題的綜合能力。 例 3：在 中，角 的對邊分別為 ，且 ABC ? , , A B C , , a b c成等差數列。 （1）求 的大小。 cos , cos , cos a C b B c A B（2）若 ，求 周長的取值范圍。 5 b ? ABC ?解析 解析：（1）由題意知 ，

5、cos cos 2 cos a C c A b B ? ?由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B ? ?3根據面積公式得① 2 1 sin 1 cos 2ABC S AB BC B x B ? ? ? ? ?由余弦定理得2 2 2 2 2 2 4 ( 2 ) 4 cos 2 4 4AB BC AC x x x B AB BC x x? ? ? ? ? ? ? ? ?代入①式得2 2 22

6、4 128 ( 12) 1 ( ) 4 16ABCx x S x x? ? ? ? ? ? ?由三角形三邊關系有 ，所以 2 2 2 2 x x x x ? ? ? ? 且 2 2 2 2 2 2 x ? ? ? ?， 故當 時， 取得最大值 。 2 3 x ? ABC S? 2 2點評 點評：本題結合函數的知識，以學生熟悉的三角形為載體，考察了面積公式、余弦定理等知識，是一道考察解三角形的好題。 例 6：已知角 是 三個內角， 是各

7、角的對邊，向量 , , A B C ABC ? , , a b c， ，且(1 cos( ),cos ) 2A B m A B ? ? ? ??? 5 ( ,cos ) 8 2A B n ? ?? 98 m n ? ??? ?（1）求 的值。 tan tan A B ?（2）求 的最大值。 2 2 2sin ab Ca b c ? ?解析 解析：由 ， ，且 得 (1 cos( ),cos ) 2A B m A B ? ? ? ?

8、?? 5 ( ,cos ) 8 2A B n ? ?? 98 m n ? ??? ?，所以 ， 2 5 9 [1 cos( )] cos 8 2 8A B A B ? ? ? ? ? 4cos( ) 5cos( ) A B A B ? ? ?即 ，所以cos cos 9sin sin A B A B ? 1 tan tan 9 A B ? ?（2）由余弦定理得 ，而 2 2 2sin sin 1 tan 2 cos 2ab C ab

9、 C C a b c ab C ? ? ? ?tan tan 9 9 3 tan( ) (tan tan ) 2 tan tan 1 tan tan 8 8 4A B A B A B A B A B? ? ? ? ? ? ? ? ?即 有最小值 ，又 ， tan( ) A B ? 34 tan tan( ) C A B ? ? ?所以 有最大值 （當且僅當 時取等號） tanC 34 ? 1 tan tan 3 A B ? ?所以