概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題三及答案

1、西南交通大學(xué) 2017—2018 學(xué)年第（一）學(xué)期《概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B》課程習(xí)題答案 1 概率論 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 數(shù)理統(tǒng)計 B 習(xí)題 習(xí)題三答案 答案 A 1. 二維隨機變量 ) , ( Y X 只能取下列數(shù)組中的值： （0，0） ， （-1，1） ， 1 1, 3? ? ? ? ? ? ?， （2，0） ，且取這些組值的概率依次為 125 , 121 , 31 , 61 .求這二維隨機變量的分布律，并寫出關(guān)于 X 及關(guān)于Y 的邊緣

2、分布律。 解：由題意可得? ? Y X, 的聯(lián)合分布律為 X\Y 0 31 1 -1 0 121 31 0 61 0 0 2 125 0 0 2. 一口袋中有四個球，它們依次標有數(shù)字 1，2，2，3.從這袋中任取一球后，不放回袋中， 再從袋中任取一球.設(shè)每次取球時， 袋中每個球被取到的可能性相同.以 Y X, 分別記第一、二次取得的球上標有的數(shù)字，求 ) , ( Y X 的分布律及 ) ( Y X P ?

3、 。 解：X 可能的取值為 3 , 2 , 1 ，Y 可能的取值為 3 , 2 , 1 ，相應(yīng)的，其概率為 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 1 1 1 1 1, 1 0, 1, 2 , 1, 3 , 4 3 6 4 3 122 1 1 2 1 1 2 1 1 2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , 4 3 6 4 3 6 4 3 61 1 2 1 3, 1 , 3, 2 , 3, 3 0 12

4、 4 3 6P X Y P X Y P X YP X Y P X Y P X YP X Y P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或?qū)懗?X\Y 1 2 3 1 0 61 121 2 61 61 61 3 121 61 0 ? ? ? ? ? ? ?

5、 ? 61 3 , 3 2 , 2 1 , 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Y X P Y X P Y X P Y X P 。 西南交通大學(xué) 2017—2018 學(xué)年第（一）學(xué)期《概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B》課程習(xí)題答案 3 Y 的邊緣分布律為 Y 0 1 概率 54 51 （3） 在有放回情況下， 由于 ? ? 2516 0 , 0 ? ? ? Y X P ， 而 ? ? ? ? 25165454 0 0 ? ?

6、? ? ? Y P X P ，即 ? ? ? ? ? ? 0 0 0 , 0 ? ? ? ? ? Y P X P Y X P ；容易驗證 ? ? ? ? ? ?, 1 0 1 , 0 ? ? ? ? ? Y P X P Y X P? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 , 1 , 0 1 0 , 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Y P X P Y X P Y P X P Y X P ，由獨立性定義知 X

7、與Y 相互獨立。 在無放回情況下，由于 ? ? 4528 0 , 0 ? ? ? Y X P ，而 ? ? ? ? 25165454 0 0 ? ? ? ? ? Y P X P ，易見? ? ? ? ? ? 0 0 0 , 0 ? ? ? ? ? Y P X P Y X P ，所以 X 與 Y 不相互獨立。 4. 設(shè)二維隨機變量 ) , ( Y X 服從在區(qū)域 D 上的均勻分布，其中區(qū)域 D 為 x 軸，y 軸及直線y=2x+1 圍成的

8、三角形區(qū)域.求： （1） ) , ( Y X 的聯(lián)合密度函數(shù)； （2） 1 1 0,0 4 4 P X Y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?；（3）關(guān)于 X 及關(guān)于Y 的邊緣密度函數(shù)； （4） X 與Y 是否獨立，為什么？ 解： （1）區(qū)域 D 見圖 1： 易算得 D 的面積為 4121 1 21 ? ? ? ? S ，所以? ? Y X, 的密度函數(shù) ? ?? y x f ,, 0, 4 ? ?其他D y x ? ,? ?

9、Y X, 的分布函數(shù)： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?y x dxdy y x f y x F , ,當 21 ? ? x 或 0 ? y 時， ? ? 0 , ? y x F ； 當 1 2 0 , 0 21 ? ? ? ? ? ? x y x 時 , ? ? 2021 2 4 4 , y y xy dx dy y x Fy xy ? ? ? ? ? ? ? ；

10、 當 1 2 , 0 21 ? ? ? ? ? x y x 時， ? ? 1 4 4 4 , 2211 20 ? ? ? ? ? ? ?? x x dy dx y x Fx x ； 當 1 0 , 0 ? ? ? y x 時， ? ? 20021 2 4 , y y dx dy y x Fyy ? ? ? ? ? ? ； 當 1 , 0 ? ? y x 時， ? ? ? ? ?? ? ?0211 20 1 4 ,x dy