高等數學教案上冊，

1、第一章 第一章 函數與極限 函數與極限§1? 1 映射與函數一、集合1? 集合概念集合 集合(簡稱集 簡稱集)? 集合是指具有某種特定性質的事物的總體? 用 A? B? M 等表示? 元素 元素? 組成集合的事物稱為集合的元素? a 是集合 M 的元素表示為 a?M? 集合的表示 集合的表示? 【列舉法】把集合的全體元素一一列舉出來? 例如 A?{a? b? c? d? e? f? g}? 【描述法】若集合 M 是由元素具

2、有某種性質 P 的元素 x 的全體所組成? 則 M 可表示為 M?{x | x 具有性質 P }?例如 M?{(x? y)| x? y 為實數? x2?y2?1}? 幾個數集 幾個數集? N 表示所有自然數構成的集合? 稱為自然數集? N?{0? 1? 2? ? ? ?? n? ? ? ?}? N??{1? 2? ? ? ?? n? ? ? ?}?R 表示所有實數構成的集合? 稱為實數集? Z 表示所有整數構成的集合? 稱為整數集? Z

3、?{? ? ?? ?n? ? ? ?? ?2? ?1? 0? 1? 2? ? ? ?? n? ? ? ?}? Q 表示所有有理數構成的集合? 稱為有理數集? } , | { 互質 與 且 q p q Z p q p ? ? ? ? N Q子集 子集? 若 x?A? 則必有 x?B? 則稱 A 是 B 的子集? 記為 A?B 或 B?A? 如果集合 A 與集合 B 互為子集? A?B 且 B?A? 則稱集合 A 與集合 B 相等? 記

4、作 A?B? 若 A?B 且 A?B? 則稱 A 是 B 的真子集? 記作 A B ? 例如? N Z Q R ? ? ? ? ? ? ? ? ?不含任何元素的集合稱為空集? 記作 ?? 規(guī)定空集是任何集合的子集? 2? 集合的運算 集合的運算設 A、B 是兩個集合? 由所有屬于 A 或者屬于 B 的元素組成的集合稱為 A 與 B 的并集(簡稱并)? 記作 A?B? 即A?B?{x|x?A 或 x?B}? 設 A、B 是兩個集合? 由

5、所有既屬于 A 又屬于 B 的元素組成的集合稱為 A 與 B 的交集(簡稱交)? 記作 A?B? 即A?B?{x|x?A 且 x?B}? 設 A、B 是兩個集合? 由所有屬于 A 而不屬于 B 的元素組成的集合稱為 A 與 B 的差集(簡稱差)? 記作 A\B? 即A\B?{x|x?A 且 x?B}? 如果我們研究某個問題限定在一個大的集合 I 中進行? 所研究去心鄰域 (a? ?)? ? U? } | | 0 | { ) , ( ?

6、 ? ? ? ? ? a x x a U ?二、映射1? 映射的概念 定義 設 X、Y 是兩個非空集合? 如果存在一個法則 f? 使得對 X 中每個元素 x? 按法則 f? 在 Y 中有唯一確定的元素 y 與之對應? 則稱 f 為從 X 到 Y 的映射? 記作f ? X?Y ? 其中 y 稱為元素 x(在映射 f 下)的像? 并記作 f(x)? 即y?f(x)? 而元素 x 稱為元素 y(在映射 f 下)的一個原像; 集合 X 稱為映射

7、 f 的定義域? 記作D f? 即D f?X ; X 中所有元素的像所組成的集合稱為映射 f 的值域? 記為 R f? 或 f(X)? 即R f?f(X)?{f(x)|x?X}? 需要注意的問題? (1)構成一個映射必須具備以下三個要素? 集合 X? 即定義域 D f?X; 集合 Y? 即值域的范圍? R f ?Y; 對應法則 f? 使對每個 x?X? 有唯一確定的 y?f(x)與之對應? (2)對每個 x?X? 元素 x 的像 y 是

8、唯一的; 而對每個 y?R f? 元素 y 的原像不一定是唯一的; 映射 f 的值域 R f 是 Y 的一個子集? 即 R f ?Y? 不一定 R f?Y ? 例 1 設 f ? R?R? 對每個 x?R? f(x)?x2? 顯然? f 是一個映射? f 的定義域 D f?R? 值域 R f ?{y|y?0}? 它是 R 的一個真子集? 對于 R f 中的元素 y? 除 y?0 外? 它的原像不是唯一的? 如 y?4 的原像就有x?2

9、和 x??2 兩個? 例 2 設 X?{(x? y)|x2?y2?1}? Y?{(x? 0)||x|?1}? f ? X ?Y? 對每個(x? y)?X? 有唯一 確定的(x? 0)?Y 與之對應? 顯然 f 是一個映射? f 的定義域 D f?X? 值域 R f ?Y? 在幾何上? 這個映射表示將平面上一個圓心在原點的單位圓周上的點投影到 x 軸的區(qū)間[?1? 1]上? (3) f ? ?[?1? 1]? 對每個 x? ? f(x)?

10、sin x ? ] 2 , 2 [ ? ? ? ] 2 , 2 [ ? ? ?f 是一個映射? 定義域 D f ? ? 值域 R f ?[?1? 1]? ] 2 , 2 [ ? ? ?滿射、單射和雙射? 設 f 是從集合 X 到集合 Y 的映射? 若 R f ?Y? 即 Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像? 則稱 f 為 X 到 Y 上的映射或滿射; 若對 X 中任意兩個不同元素 x 1?x 2? 它們的像 f(x 1)?