3.3 垂徑定理1

1、*3.3 垂徑定理 垂徑定理1．理解垂徑定理和推論的內(nèi)容，并會證明，利用垂徑定理解決與圓有關的問題；(重點)2．利用垂徑定理及其推論解決實際問題．(難點)一、情境導入如圖①某公園中央地上有一些大理石球，小明想測量球的半徑，于是找了兩塊厚 20cm 的磚塞在球的兩側(如圖②所示)，他量了下兩磚之間的距離剛好是 80cm，聰明的你能算出大石頭的半徑嗎？二、合作探究探究點一：垂徑定理【類型一】 利用垂徑定理求直徑或弦的長度如圖所示，⊙O 的直

2、徑 AB 垂直弦 CD 于點 P，且 P 是半徑 OB 的中點，CD＝6cm，則直徑 AB 的長是( )A．2 cm B．3 cm 3 2C．4 cm D．4 cm 2 3解析：∵直徑 AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.連接 OD，∵P 是 OB 的中點，設 OP為 x，則 OD 為 2x，在 Rt△DOP 中，根據(jù)勾股定理列方程 32＋x2＝(2x)2，解得 x＝ 3.∴OD＝2 ，∴AB＝4 .故選 D. 3

3、3方法總結：我們常常連接半徑，利用半徑、弦、垂直于弦的直徑造出直角三角形，然后應用勾股定理解決問題．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第 3 題【類型二】 垂徑定理的實際應用如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(圖中的 )，點 O 是這段弧的圓心， AB ︵C 是 上一點，OC⊥AB，垂足為 D，AB＝ AB ︵300m，CD＝50m，則這段彎路的半徑是________m.解析：本題考查垂徑定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，

4、∴AD＝150m.設半徑為R，根據(jù)勾股定理可列方程 R2＝(R－50)2＋1502，解得 R＝250.故答案為 250.方法總結：將實際問題轉化為數(shù)學問題，再利用我們學過的垂徑定理、勾股定理等知識進行解答．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第 8 題【類型三】 垂徑定理的綜合應用性質把要求的 EF 與 AB 建立關系，從而解決問題．解：在⊙O 中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF 是△ABP的中位

5、線，∴EF＝ AB＝ ×10＝5(cm)．1212方法總結：垂徑定理雖是圓的知識，但也不是孤立的，它常和三角形等知識綜合來解決問題，我們一定要把知識融會貫通，在解決問題時才能得心應手．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第 2 題【類型三】 動點問題如圖，⊙O 的直徑為 10cm，弦AB＝8cm，P 是弦 AB 上的一個動點，求OP 的長度范圍．解析：當點 P 處于弦 AB 的端點時，OP 最長，此時 OP 為半徑

6、的長；當OP⊥AB 時，OP 最短，利用垂徑定理及勾股定理可求得此時 OP 的長．解：作直徑 MN⊥弦 AB，交 AB 于點D，由垂徑定理，得 AD＝DB＝ AB＝4cm.12又∵⊙O 的直徑為 10cm，連接 OA，∴OA＝5cm.在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得OD＝ ＝3cm.∵垂線段最短，半 OA2－AD2徑最長，∴OP 的長度范圍是 3cm≤OP≤5cm.方法總結：解題的關鍵是明確 OP 最長、最短時的情況，靈活利用垂徑定