高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第七版)上冊-知識點(diǎn)總結(jié)資料

1、1高等數(shù)學(xué) 高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)第七版 同濟(jì)第七版)上冊 上冊-知識點(diǎn)總結(jié) 知識點(diǎn)總結(jié)第一章 函數(shù)與極限一. 函數(shù)的概念 函數(shù)的概念1.兩個(gè)無窮小的比較設(shè) 且 0 ) ( lim , 0 ) ( lim ? ? x g x f l x gx f ? ) () ( lim（1）l = 0，稱f (x)是比g(x)高階的無窮小，記以f (x) = 0[ ]，稱g(x)是 ) (x g比f(x)低階的無窮小。 （2）l ≠ 0，稱f (x)與g(x

2、)是同階無窮小。（3）l = 1，稱f (x)與g(x)是等價(jià)無窮小，記以f (x) ~ g(x)2.常見的等價(jià)無窮小當(dāng)x →0時(shí)sin x ~ x，tan x ~ x，~ x，~ x， x arcsin x arccos1? cos x ~ ， ?1 ~ x ，~ x ， ~ 2 / 2 ^ x x e ) 1 ln( x ? 1 ) 1 ( ? ? ? x x ?二．求極限的方法 求極限的方法1．兩個(gè)準(zhǔn)則 準(zhǔn)則 1. 單調(diào)有界數(shù)

3、列極限一定存在準(zhǔn)則 2.（夾逼定理）設(shè)g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) 若 ，則 A x h A x g ? ? ) ( lim , ) ( lim A x f ? ) ( lim2．兩個(gè)重要公式公式 1 1 sin lim0 ?? xxx公式 2 e x xx ? ??/ 10 ) 1 ( lim3．用無窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無窮小代換 4．用泰勒公式當(dāng) 時(shí)，有以下公式，可當(dāng)做等價(jià)無窮小更深層次 x 0 ?3（2）只要條件具備，可以

4、連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則； （3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要．因此，在該法則失效時(shí)并不 能斷定原極限不存在．6．利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 (如果存在） ) ( ) ( ) ( lim 0' 0 00 x f xx f x x fx ? ?? ? ?? ?7.利用定積分定義求極限基本格式 （如果存在） ? ? ?? ? ?10 1) ( ) ( 1 lim dx x f nk f nnk n三． 三．函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類 函數(shù)的

5、間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（1）第一類間斷點(diǎn)設(shè)是函數(shù) y = f (x)的間斷點(diǎn)。如果 f (x)在間斷點(diǎn) 處的左、右極限都存 0 x 0 x在，則稱 是 f (x)的第一類間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù) 0 x值為可去間斷點(diǎn)。左右極限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷 點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四． 四．

6、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f (x)，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。 定理1． （有界定理）如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f (x)必在[a,b]上有 界。定理2． （最大值和最小值定理）如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值M 和最小值m 。 定理3． （介值定理）如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且其最大值和最小