數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-行簡(jiǎn)化梯形矩陣的唯一性證明及應(yīng)用

1、目錄1引言.........................................................(1)2符號(hào)說明、基本定義、性質(zhì)和命題...............................(1)2.1符號(hào)說明.............................................(1)2.2初等行變換..........................................

2、.(1)2.3矩陣的行等價(jià).........................................(1)2.4行簡(jiǎn)化梯形矩陣和主元列的定義.........................(2)3行簡(jiǎn)化梯形矩陣唯一性定理的證明...............................(2)3.1矩陣A的行簡(jiǎn)化梯形矩陣的存在性........................(2)3.2證明唯一性...............

3、............................(2)4行簡(jiǎn)化梯形矩陣的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用.................................(5)4.1化矩陣為行簡(jiǎn)化梯形矩陣，并確定主元列.................(5)4.2應(yīng)用行化簡(jiǎn)算法解線性方程組...........................(5)4.3行簡(jiǎn)化梯形矩陣的唯一性的兩個(gè)重要應(yīng)用.................(7)5與已有的證明方法進(jìn)

4、行比較.....................................(7)6對(duì)一些文獻(xiàn)資料的思考.........................................(8)結(jié)束語(yǔ).........................................................(9)致謝.........................................................

5、..(9)參考文獻(xiàn).......................................................(9)行簡(jiǎn)化梯形矩陣的唯一性證明及應(yīng)用2(1)自反性：.AA?(2)對(duì)稱性：若，則.AB?BA?(3)傳遞性：若，，則.AB?BC?AC?2.4、行簡(jiǎn)化梯形矩陣和主元列的定義定義2(見[1定義1])令表示數(shù)域mnP?P上的所有矩陣，的任意非零的mn?mnAPA??行中第一個(gè)非零元素稱為這一行的“首”元素，如果矩

6、陣滿足下列條件：A(1)每個(gè)首元素是1；(2)包含首元素1的每列中，其它的元素都是零；(3)每個(gè)零行（若有的話）都排在所有非零行的下面；(4)設(shè)在的第行首元素出現(xiàn)在列，的AiitA個(gè)非零行中首元所在列數(shù)滿足()rm?1t2t……，rt則稱為行簡(jiǎn)化梯形矩陣.A例如矩陣01000000010000000100000001000000000100000000000000000000A???????????????????????就是一個(gè)行簡(jiǎn)化

7、梯形矩陣，也即是行最簡(jiǎn)形或行標(biāo)準(zhǔn)形.定義3包含首元素1的每列中，其它的元素都是零，這些列稱為主元列.首元素1所在的位置稱為主元位置.命題4(見[1定理4])矩陣的秩等于AA的行簡(jiǎn)化梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù).3、行簡(jiǎn)化梯形矩陣唯一性定理的證明3.1、矩陣的行簡(jiǎn)化梯形矩陣的存在性A命題5中任意一個(gè)矩陣都可通過mnP?A初等行變換使它行等價(jià)于行簡(jiǎn)化梯形矩陣.這個(gè)命題顯然是成立的.對(duì)先從mnAP???最左的非零列開始這是一個(gè)主元列主元位置A要在該

8、列頂端所以要在主元列中選取一個(gè)非零元作為主元若有必要的話對(duì)換兩行使這個(gè)元素移到主元位置上.再用倍加行變換將主元下面的元素變成0.暫時(shí)不管包含主元位置的行以及它上面的各行對(duì)剩下的子矩陣使用上述的三個(gè)步驟直到?jīng)]有非零行需要處理為止.最后由最右面的主元開始把每個(gè)主元上方的各元素變成0若某個(gè)主元不是1用數(shù)乘變換將它變成1.這樣就可以得到的一個(gè)行等價(jià)矩陣——行簡(jiǎn)化梯形矩A陣.具體的證明過程可見[3]或[4].3.2、證明唯一性命題6（唯一性定理）

9、中任意一個(gè)矩陣mnP?僅與唯一的行簡(jiǎn)化梯形矩陣行等價(jià)，即的行AA簡(jiǎn)化梯形矩陣是唯一的.記的唯一行簡(jiǎn)化梯形A矩陣為.B證明設(shè)，是的兩個(gè)行簡(jiǎn)化梯形矩BCA陣，則，.由性質(zhì)1，得：.由AB?AC?BC?命題1，4知與的秩相同，且非零行的個(gè)數(shù)BC相同，令的秩為，所以，可設(shè)Ar1t2t3t4t?rt(1)001000000000100000000000100000000000001000000000000010000000000000000000