數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-三個(gè)冪等矩陣線(xiàn)性組合的冪等性

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2023年全國(guó)碩士研究生考試考研英語(yǔ)一試題真題（含答案詳解+作文范文）_第1頁(yè)

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文檔簡(jiǎn)介

1、　　編號(hào) 　　莆田學(xué)院　　畢業(yè) 論文　　課題名稱(chēng)：三個(gè)冪等矩陣線(xiàn)性組合的冪等性　　系別數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、　　學(xué)生姓名 　　學(xué) 號(hào) 　　專(zhuān) 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 　　年級(jí) 2002級(jí) 　　指導(dǎo)教師

3、 　　2006 年 6 月　　莆田學(xué)院學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文　　原創(chuàng)性聲明　　本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)

4、的作品成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。　　學(xué)位畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）作者簽名： 　　日期： 2006 年月日　　三個(gè)冪等矩陣線(xiàn)性組合的冪等性　　摘

5、要　　本文給出了3個(gè)非零的兩兩不同且相互可交換的冪等矩陣的線(xiàn)性組合還是冪等矩陣的一些充分條件，這些條件不僅概括了文獻(xiàn)[1]及文獻(xiàn)[2]中的相關(guān)結(jié)論，而且還得到一些新結(jié)果。　　關(guān)鍵詞：冪等矩陣；線(xiàn)性組合；對(duì)角化；相似矩陣　　Idempotency of linear combinations

6、 of three idempotent matrices　　Abstract　　Some sufficient conditions for linear combination of the three nonzero, different and mutually commutative idempotent

7、 matrices which is still idempotent matrix, has being considered in this article. Those conditions not only summarize the related conclusions of the first reference and the fourth reference, but also obtain some new res

8、ults.　　Key words: Idempotent matrixes; Linear combination; Diagonalization; Similar matrices　　目錄　　0 序言1

9、　　1 預(yù)備知識(shí)4　　2 主要結(jié)果及證明4　　3 討論10　　3.1 與文獻(xiàn)[1]之間的關(guān)系10　　3.2 與文獻(xiàn)[2]之間的關(guān)系10<

10、p>　　3.3 命題3結(jié)論（a）與命題5結(jié)論（6）的關(guān)系10　　3.4 不足之處10　　4 說(shuō)明10　　參考文獻(xiàn)26　　致謝27<

11、;/p>　　0 序言　　近年來(lái)，2個(gè)和3個(gè)冪等矩陣的線(xiàn)性組合仍然是冪等矩陣的問(wèn)題，是算子論中的一個(gè)重要問(wèn)題已被研究.現(xiàn)狀如下：　　命題1 （文獻(xiàn)[3，定理4]）設(shè)，是數(shù)域F上的兩個(gè)階非零冪等陣，為非零的數(shù)，則矩陣,的線(xiàn)性組合仍是冪等陣當(dāng)且僅當(dāng)下列四個(gè)條件之一成立.&

12、lt;p>　??；　　；　?。?lt;/b>　??；　　命題2 （見(jiàn)文獻(xiàn)[4,Theorem 1]）設(shè)，且，.

13、　　如果下列情況之一成立，則矩陣是冪等矩陣，其中，　　表示復(fù)數(shù).　?。?lt;/b>　　當(dāng)，時(shí)，有　　，，；&l

14、t;/p>　　，，；　　，，；　　，，；　　，；　　，或；</b&g

15、t;　　，或；　　，或；　　，或；　　，或　　或或.<

16、/b>　　當(dāng)，時(shí)，有　　，；　　，；　　，　　或；&l

17、t;/b>　　當(dāng)，時(shí)，有　　，；　　，；　　，　　或.

18、　　當(dāng)，時(shí)，有　　，；　　，.　　命題3 （文獻(xiàn)[1，Theorem 3.2]） Let withandbe their linear c

19、ombination of the form 　　,　　With nonzero scalars .Them we have the following situations for whichis an idempotent matrix. denotes a commuting family of nonzero

20、 idempotent matrices.　　;　　;　　;　　;　　命題4

21、（文獻(xiàn)[1，Remark 1]）For ,under the hypotheses of the theorem, we have the following:　　If then .　　If then .　　If then .　　If then .</p&g

22、t;　　If then .　　If then .　　If then .　　命題5 （文獻(xiàn)[2，定理3]）設(shè)是3個(gè)非零兩兩不同且相互可交換的冪等矩陣并且是非零復(fù)數(shù)時(shí)，如果下列情形之一成立，則矩陣是冪等矩陣.

23、本文主要討論3個(gè)非零兩兩不同且相互可交換的冪等矩陣的線(xiàn)性組合還是冪等矩陣的一些充分條件, 這些條件不僅概括了文獻(xiàn)[1]與文獻(xiàn)[2]的相關(guān)結(jié)論，而且還得到一些新結(jié)果.　　1 預(yù)備知識(shí)　　定義1 若階方陣，存在可逆矩陣，使得，則稱(chēng)矩陣與相似.　　定義2 若階方陣與一個(gè)對(duì)角矩

24、陣相似，則稱(chēng)是可對(duì)角化的.　　定義3 若階方陣，存在可逆矩陣，使得和都是對(duì)角矩陣，則稱(chēng)可同時(shí)對(duì)角化.　　引理1 設(shè)是3個(gè)非零兩兩不同且相互可交換的冪等矩陣并且是非零復(fù)數(shù)，令　　.　　為冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng)</b

25、>　　.　　證明：參看文獻(xiàn)[2，引理1]. ■　　引理2 所有可對(duì)角化的矩陣，若它們兩兩相互可交換，則它們可同時(shí)對(duì)角化.　　證明：參看文獻(xiàn)[5]. ■　　引理3 是3個(gè)非零兩

26、兩不同且相互可交換的冪等矩陣并且是非零復(fù)數(shù)，則　　為冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng)　　.　　其中分別是的特征值.　　證明：參看文獻(xiàn)[2，引理2]. ■<b&g

27、t;　　2 主要結(jié)果及證明　　定理1 是3個(gè)非零兩兩不同且相互可交換的冪等矩陣，且滿(mǎn)足下列之一，則為冪等矩陣　　(1) ，；　　(2) ，；　　(3) ，，

28、；　　(4) ，，；　　(5) ，，；　　(6) ，，；　　(7) ，，；&

29、lt;p>　　(8) ；　　證明：由引理1知只需證明：　　.　　僅證明（1）的情況，其它類(lèi)似可證.當(dāng)（1）成立時(shí)，　　由(1) ，，代入得：. ■

30、　　定理2 是3個(gè)非零兩兩不同且相互可交換的冪等矩陣，且滿(mǎn)足下列之一，則為冪等矩陣　　(1) ，；　　(2) ，；　　(3) ；　　(4)

31、；　　(5) ；　　(6) ；　　(7) ；　　(8) ；

32、;　　證明：由引理1知只需證明：　　.　　僅證明(1)的情況，其它類(lèi)似可證.當(dāng)（1）成立時(shí)，　　由(1) ，代入得：. ■　　定理3 是3個(gè)非零兩兩不同且相互可交換的冪等矩陣，且滿(mǎn)足下列之一，則為冪等矩陣&

33、lt;p>　　(1) ，；　　(2) ，；　　(3) ，，；　　(4) ，，；　　(5) ，，；

34、　　(6) ，，；　　(7) ，，；　　(8) ；　　證明：由引理1知只需證明：

35、;　　.　　僅證明（1）的情況,其它可類(lèi)似證明。當(dāng)（1）成立，　　由(1)，代入得：. ■　　定理4 是3個(gè)非零兩兩不同且相互可交換的冪等矩陣，且滿(mǎn)足下列之一，則為冪等矩陣　　1. ，；

36、　　2. ，；　　3. ，；　　4. ，；　　5. ，；　　6. ，；</b&

37、gt;　　7. ；　　8. ，；　　9. ，；　　10. ，；<b&g

38、t;　　11. ，；　　12. ，；　　13. ，；　　14. ，；　　15. ，；</p&g

39、t;　　16. ，；　　17. ，；　　18.；　　證明：僅證1的情況，其它可類(lèi)似證明.　　由引理1知只需證明：.當(dāng)1成立時(shí),</

40、p>　　由1.，代入得：. ■　　定理5 若為冪等矩陣,則與是等價(jià)的.　　證明：由引理1知為冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng),即.因此只要證明為冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng). 　　充分條件：由于兩兩可交換，由引理2，存在可逆矩陣使：　　，由此得：<

41、;/b>　　.　　可見(jiàn)　　為冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng) 　　其中.　　由.<

42、/p>　　對(duì)，可能的取值范圍:　　.　　因?yàn)?，則不能有兩個(gè)為1.　　所以只能有　　.&l

43、t;b>　　由此得：.　　必要條件：因?yàn)闉閮绲染仃嚠?dāng)且僅當(dāng).若,有，則為冪等矩陣. ■　　注：若時(shí)，有下列的條件成立　　；　　；

44、　　；　?。?lt;/b>　??；　?。?lt;/b>　　；<b

45、>　??；　　；　　；　??；　??；

46、??；　　證明：僅證的情況，其它可類(lèi)似證明.　　由于.　　則對(duì)，可能的取值范圍　　又由于. 　　所以只能有</b

47、>　　.　　由于，不失一般性，設(shè)　　，對(duì)于，　　任意取自中的兩個(gè)時(shí)，或者或者或者，這些都與已知條件矛盾。因此. 　　只能有<

48、/b>　　，　　從而得：. ■　　3 討論　　3.1 與文獻(xiàn)[1]之間的關(guān)系　　1）文獻(xiàn)[1]所得的命題3和

49、4只是本文定理1，2，3，4中的一部份：命題3結(jié)論（a）是定理4中的結(jié)論16；命題3結(jié)論（b）是定理3結(jié)論（5）和（6）；命題3結(jié)論（c）定理2結(jié)論（5）和（6）；命題3結(jié)論（d）定理1結(jié)論（5）和（6）；　　2）文獻(xiàn)[1]所得的命題4是本文注的一部份：命題4中的結(jié)論分別對(duì)應(yīng)注中結(jié)論（a），　　（d2），（d1），（b2），（b3），（c3），（c1）.

50、　　3.2 與文獻(xiàn)[2]之間的關(guān)系　　在文獻(xiàn)[2]基礎(chǔ)上，增加了9個(gè)充分條件（可分為兩類(lèi)）：定理4結(jié)論1-6和13-15.　　3.3 命題3結(jié)論（a）與命題5結(jié)論（6）的關(guān)系　　由定理5知，命題5結(jié)論（6）與命題3結(jié)論（a）是等價(jià)的.<p&g

51、t;　　3.4 不足之處　　定理1，2與3的結(jié)論沒(méi)有命題4中的結(jié)論（5）范圍廣,是屬于其中的一部分.　　4 說(shuō)明　　對(duì)于上述定理1-5，人們會(huì)有疑問(wèn)：定理的條件結(jié)論很多，但證明很簡(jiǎn)單，其實(shí)得到這些結(jié)論的背景還是要費(fèi)些周折.</p&g

52、t;　　首先，由于兩兩可交換，由引理1，則存在可逆矩陣,使：　　，則　　令，，.　　可見(jiàn)　　為冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng).

53、　　由.　　對(duì)于，可能取到的范圍　　.　　其次，因?yàn)榉匠探M有3個(gè)變量，當(dāng)時(shí)，可以解出　　的值，其必要條件是所選取的3個(gè)向量是無(wú)關(guān)的.因此采用窮舉法窮取A中非零的3個(gè)向量（共有種）

54、，正好可以選取無(wú)關(guān)的情況,從而可以解出的值.　　下面用窮舉法把它們都列出來(lái).　　，此時(shí).（矛盾）.　　把它代入方程組,若方程組有解,不失一般性，　　，.

55、　即,由及得：方程組無(wú)解.　　此時(shí)（矛盾）.　　類(lèi)似（1）的證明可得：方程組無(wú)解.　　，.　　把這一組特征值代入方程組，若方程組有解,不失一般性，<

56、b>　　, .　　即由及得:則.　　容易驗(yàn)證：.　　,.　　把這一組特征值代入方程組，若方程組有解,不失一般性，

57、;　　,.　　即，由及得：.　　則.　　容易驗(yàn)證：.　　, .

58、;　　把這一組特征值代入方程組，若方程組有解,不失一般性，　　，.　　即由及得：.　　則.　　此

59、時(shí) .　　容易驗(yàn)證：　　.　　此時(shí).　　.　　把這一組特征

60、值代入方程組,若方程組有解,不失一般性，　　.　　即由及得: .　　容易驗(yàn)證：.　　此時(shí) （矛盾）

61、　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性，　　.　　即由及得: .　　則.　　,.

62、　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　.　　即由及得:,則.　　容易驗(yàn)證：.<b&g

63、t;　　, 此時(shí)（矛盾）.　　類(lèi)似（1）的證明得:方程組無(wú)解.　　,.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有,　　即由及得: &l

64、t;p>　　則或.　　容易驗(yàn)證：.　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　.</

65、p>　　即由及得: .　　則或.　　此時(shí).　　容易驗(yàn)證：.　　此時(shí) （

66、矛盾）　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　即由及得: . 　　則.　　此時(shí).　　.&l

67、t;/b>　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　.　　即由及得:,.　　容易驗(yàn)證:&

68、lt;b>　　.　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.　　.<p&g

69、t;　　此時(shí) .　　容易驗(yàn)證:　　.　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：

70、　　,.　　.　　.　　此時(shí) .　　容易驗(yàn)證:</p&

71、gt;　　.　　此時(shí) （矛盾）.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　.　　即由及得: .&

72、lt;/b>　　則.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.　　..

73、;　　容易驗(yàn)證：　　.　　，.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　.

74、　即由及得: . 　　.　　此時(shí) .　　容易驗(yàn)證:　　.

75、　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.　　.　　.<b&

76、gt;　　此時(shí) .　　容易驗(yàn)證:　　.　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：<p&

77、gt;　　, ,　　，.　　易知 .　　容易驗(yàn)證:　　.&

78、lt;p>　　,　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　, . 　　.　　容易驗(yàn)證:<

79、/p>　　.　　,.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　.　　，.

80、　　容易驗(yàn)證:　　.　　,.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有:　　.<

81、;/b>　　，.　　容易驗(yàn)證:　　.　　,　　把這一組特征值代入方程組,

82、若方程組有解,不失一般性有:　　.　　，.　　容易驗(yàn)證:　　.

83、;　　, .　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有,　　.　　.　　.<

84、b>　　此時(shí) .　　容易驗(yàn)證:　　.　　,.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：<

85、;p>　　.　　.　　容易驗(yàn)證:　　.　　,.<

86、;p>　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.　　.　　.　　此時(shí) .

87、;　　容易驗(yàn)證:　　.　　此時(shí).　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有:&

88、lt;/p>　　,.　　，.　　容易驗(yàn)證:　　.　　,.

89、;　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.　　.　　.　　容易驗(yàn)證:&l

90、t;/b>　　.　　,.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　, .

91、　　.　　容易驗(yàn)證:　　.　　, 此時(shí).　　.　　把這一組

92、特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.　　.　　容易驗(yàn)證:　　.

93、;　　此時(shí).　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.　　，.&l

94、t;p>　　容易驗(yàn)證:　　.　　此時(shí).　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：</p

95、>　　,.　　.　　容易驗(yàn)證:　　.　　此時(shí).<

96、/p>　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.　　，.　　容易驗(yàn)證:</b

97、>　　.　　則　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.<

98、;/b>　　.　　.　　此時(shí) .　　容易驗(yàn)證:　　.&

99、lt;/b>　　最后，對(duì)上述計(jì)算得到的結(jié)果進(jìn)行整理，總結(jié)得出上面的定理.　　參考文獻(xiàn)　　[1] Halim Özdemir,Ahrnet Yasar Özban.On idempotency of linear combinations of ide

100、mpotent matrices [J].Applied Mathematics and Computation,2004,159(2):439-448.　　[2] 王月清，王愛(ài)麗.3個(gè)冪等矩陣線(xiàn)性組合的冪等性[J].寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005, 25(3):167-168.　　[3] 寧群.關(guān)于冪等矩陣的相似與線(xiàn)性組合[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2

101、004,20,(3):84-85. 　　[4] Baksalary, Oskar Maria.Idempotency of linear combinations of three idempotent matrices, two of which are disjoint[J].Linear Algebra and its Applications,2004,388:67-78.</p&

102、gt;　　[5] 張禾瑞，郝炳新，高等代數(shù)（第四版），高等教育出版社，北京.　　[6] Vachelav Rabanovich.Every matrix is a linear combination of three idempotents [J]. Linear Algebra and its Applications 2004,15(3):228-235.</p

103、>　　[7] Jerzy K.Baksalary,Oskar Maria Badsalary, Idempotency of linear combinations of an idempotent matrix and a tripotent matrix [J].Linear Algebra and its Applications 2002,35(4):21-34.<p&g

104、t;　　致謝　　首先，感謝我們的指導(dǎo)老師——楊忠鵬老師對(duì)我們選題、確定方向、內(nèi)容等的指導(dǎo)，并指導(dǎo)我們對(duì)參考文獻(xiàn)的閱讀.在這期間，幫我確定論文方向，找到寫(xiě)這篇論文的思路，并對(duì)這篇論文的進(jìn)展情況進(jìn)行了耐心的詢(xún)問(wèn)，還與我共同討論，所以，這篇論文的落定必須感謝楊老師。　　其次，要感謝我們數(shù)學(xué)系為我們提供的各種優(yōu)惠條件

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