數(shù)論函數(shù)

1、數(shù)論函數(shù)數(shù)論函數(shù)【內(nèi)容綜述】【內(nèi)容綜述】本講介紹數(shù)論中常見的一些函數(shù)的概念、性質(zhì)及其應(yīng)用，主要有除數(shù)函數(shù)——自然數(shù)n的正因數(shù)的個(gè)數(shù)函數(shù)；——自然數(shù)n的全部正因數(shù)的和函數(shù)；歐拉函數(shù)——設(shè)n是大于1的自然數(shù)，則歐拉函數(shù)是表示與n互素且不大于n的自然數(shù)的個(gè)數(shù)；（高斯函數(shù)或稱方括號函數(shù)[X]在下講介紹）為書寫清楚，同學(xué)們應(yīng)熟悉連加符號“”與連乘符號“”：；特別是“”表示對稱式的和；“”表示對稱式的積abc……；【要點(diǎn)講解】【要點(diǎn)講解】1約數(shù)個(gè)數(shù)

2、函數(shù)2約數(shù)和函數(shù)3歐拉函數(shù)φ(n)★★★1約數(shù)個(gè)數(shù)函數(shù)約數(shù)個(gè)數(shù)函數(shù)定義定義1設(shè)，則的正約數(shù)的個(gè)數(shù)稱為函數(shù)。定理定理1設(shè)，且是質(zhì)數(shù)，則略證：略證：由乘法原理，約數(shù)系由、、…、的不同取法而生成，它們的取法分別有種（含不取該約數(shù)的1種取法），故得證例1.求24的正約數(shù)個(gè)數(shù)。解：事實(shí)上，易求得約數(shù)分別是1，2，3，4，6，8，12，24；個(gè)數(shù)正是8個(gè)。2約數(shù)和函數(shù)約數(shù)和函數(shù)定義定義設(shè)，，則稱的正約數(shù)和為函數(shù)。如，易證是素?cái)?shù)（∵每個(gè)小于的自然數(shù)都

3、與它互素）；反之可見，若是合數(shù)，必有。關(guān)于歐拉函數(shù)，有以下性質(zhì)定理定理４定理４設(shè)P是素?cái)?shù)，且則證明∵P是素?cái)?shù)，顯然有與互素的充要條件是，即有：，反之若，且知在1和之間，有以下個(gè)數(shù)是p的倍數(shù)：，而其余的數(shù)都與互素，從而可知不超過且與互素的自然數(shù)個(gè)數(shù)。當(dāng)自然數(shù)的素因數(shù)分解式中，不只包含一個(gè)素因數(shù)時(shí)，有定理定理5設(shè)大于1的自然數(shù)的素因數(shù)分解式為，其中則有證明：證明：因?yàn)樗匾驍?shù)的個(gè)數(shù)，故考慮采用數(shù)學(xué)歸納法（下設(shè)表有k個(gè)素因數(shù)的自然數(shù)）。（i）當(dāng)