長方體與正方體(一)

1、第2525講長方體和正方體（一）長方體和正方體（一）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了長方體和正方體的有關(guān)知識，如長方體和正方體的特征、長方體和正方體的表面積、體積的計算。在我們學(xué)習(xí)與實際生活當(dāng)中，有許多問題都離不開長方體與正方體，這些相關(guān)的知識既有趣，又給人以啟發(fā)。解決這些問題，不僅需要有扎實的基礎(chǔ)知識及較強的觀察能力、畫圖能力和空間想象能力，還必須掌握一些解決問題的技巧。通過本講的學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們能從中得到啟迪，悟出一些道理，從而提高空間想象能力和分析

2、推理能力。例題與方法例題與方法例1、一個長方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個長方體的長、寬、高是以厘米為單位的質(zhì)數(shù)。這個長方體的表面積和體積各是多少？思路點撥思路點撥丁?。阂蟪鲩L方體的表面積和體積，就要求出這個長方體的長、寬、高，題中只告訴前面和上面面積之和是209平方厘米這一信息，又該如何求呢？小麥斯：我們可以從長方體的長、寬、高這三個數(shù)量入手。因為：前面的面積是“長高”，上面的面積是“長寬”，則可得下面的數(shù)量關(guān)系。長

3、寬＋長高＝長（寬＋高）＝209。機靈猴：我知道，根據(jù)已知條件，長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，而209是兩個數(shù)的積，其中必有一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，而另一個數(shù)是兩個質(zhì)數(shù)的和。丁?。簩?09分解質(zhì)因數(shù)得，209＝1119。11和19中，哪個數(shù)能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和呢？經(jīng)試驗，只有19＝2＋17符合條件。這樣。我們可以在確定出長方體的長、寬、高了，再根據(jù)公式分別求出它的表面積和體積。我是這樣解答的：解：解：209＝1119，19＝2＋17（1117＋112＋217）

4、2＝486（平方厘米）………………………長方體的表面積11217＝374（立方厘米）…………………………………………………長方體的體積答：答：這個長方體的表面積是486平方厘米，體積是374立方厘米。小麥斯：充分利用問題中的數(shù)量關(guān)系，并將數(shù)量關(guān)系簡化，再根據(jù)所提供的信息，確定長、寬、高的相應(yīng)的數(shù)值，這是解決這類問題的關(guān)鍵。例2、一個長方體水池，底面是邊長2米（從里面量）的正方形，水池的高是2.5米。水池中水深0.6米?，F(xiàn)有一根長方體的鐵

5、柱，長、寬、高分別為4分米、4分米、12分米，將鐵柱放入水池中，使其一面緊貼池底，水面將升高多少分米？思路點撥思路點撥丁丁：將鐵柱放入水中，水面會升高。看怎樣求出水面上升的高度呢？小麥斯：這道題中，由于沒有限定鐵柱的放法，只要求使其一面緊貼池底，而鐵柱只有“44”、“412”的兩種面，均可以緊貼池底（2米＝20分米，2020）。機靈猴：這樣，就要分成兩種放法來考慮。一是將鐵柱橫放著放入水池，鐵柱完全浸沒在水中，這時，上升的水的體積就等于

6、鐵柱的體積，用鐵柱的體積去除以水池的底面積就是上升水的高度。另一種是將鐵柱豎著放入池底，鐵柱有一部分浸沒在水中，有一部分露出水面，這種情況是容易出錯的。丁?。簩τ诘诙N情況，可以抓住水的體積不變來分析。先求出水的體積，鐵柱放入小麥斯：重疊部分越多，所得的新幾何體的表面積就越小，你明白了嗎？例4、一個長方體容器，底面是邊長是60厘米的正方形。容器里直立著一個高1米，底面邊長15厘米的長方體鐵塊，這時容器里的水深0.5米。現(xiàn)在將鐵塊輕輕地向

7、上提起24厘米，那么露出水面的鐵塊上被浸濕的部分長多少厘米？思路點撥思路點撥丁?。河捎阼F塊向上提起24厘米，提起部分的鐵塊體積是151524＝5400（立方厘米），是不是用“5400立方厘米”除以容器的底面積就是水面下降的高度，即5400（6060）＝1.5（厘米）呢？小麥斯：上面的思路是不對的！這是同學(xué)們在解這道題時常犯的一個錯誤。可以這樣來分析：鐵塊提起后，水不流動，那么，鐵塊下方就會空出一個5400立方厘米的空間。機靈猴：我明白了

8、！此時鐵塊周圍的水就會補充這個空間，即鐵塊周圍下降的水的體積就等于5400立方厘米。丁?。嚎磥?，“5400立方厘米”并不能除以容器的底面積，而是了除以除鐵塊底面以外的面積，即5400（6060－1515）＝1.6（厘米）。雖然1.6與錯誤答案1.5只相差0.1，但卻是兩回事。解：解：151524（6060－1515）＝54003375＝1.6（厘米）1.6＋24＝25.6（厘米）答：答：露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分長25.6厘米。小麥

9、斯：將提起鐵塊的過程進行慢鏡頭分析，明白提起24厘米的鐵塊體積，必須等于鐵塊周圍的下降的體積，這正是正確解決這個問題的關(guān)鍵。例5、一個長、寬和高分別是21厘米、15厘米和12厘米的長方體，現(xiàn)從它的上面盡可能大地切下一個正方體，然后從剩余的部分再盡可能大地切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大地切下一個正方體，剩下的體積是多少立方厘米？思路點撥思路點撥丁丁：一共切了三次，每次切下的都是盡可能大的正方體。但沒有實物，又不是平面圖形

10、，采取什么方法比較合適呢？小麥斯：可以將立體圖形化歸成平面圖形來思考。因為長方體的長、寬和高分別為21厘米、15厘米和12厘米，可以推得第一次切下的盡可能大的正方體的棱長是12厘米，它的體積是121212＝1728（立方厘米）。這時還剩余立體的底面形狀如下圖1，它的高為12厘米。很明顯，第二次切下盡可能大的正方體的棱長是9厘米，它的體積是999＝729（立方厘米）。機靈猴：第二次切完以后，這時剩余立體圖形底面可分成兩部分：一部分的底面形