平面向量角形心(有詳解)

1、1平面向量與三角形“四心”的應用問題平面向量與三角形“四心”的應用問題湖南省箴言中學劉光明三角形的外心，內(nèi)心，重心及垂心，在高考中的考查是比較棘手的問題，先課程教材中所加的內(nèi)容，更加引起我們的重視，尤其與平面向量結合在一起，那就更加難于掌握了。本文擬對與三角形的“四心”相關的平面向量問題加以歸納，供學習時參考1課本原題課本原題例１例１、已知向量滿足條件，，求123OPOPOP????????????1230OPOPOP?????????

2、???????123||||||1OPOPOP???????????????證：是正三角形123PPP△分析分析對于本題中的條件，容易想到，點是的外心，而123||||||1OPOPOP???????????????O123PPP△另一個條件表明，點是的重心1230OPOPOP????????????????O123PPP△故本題可描述為，若存在一個點既是三角形的重心也是外心，則該三角形一定是正三角形在1951年高考中有一道考題，原題是

3、：若一三角形的重心與外接圓圓心重合，則此三角形為何種三角形？與本題實質(zhì)是相同的顯然，本題中的條件可改為123||||||1OPOPOP???????????????123||||||OPOPOP??????????????2高考原題高考原題例２例２、O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足則P的軌跡一定通過△ABC的（）()[0).||||ABACOPOAABAC??????????????????????????

4、???????A外心B內(nèi)心C重心D垂心分析分析已知等式即，設，顯然都是()||||ABACAPABAC???????????????????????||||ABACAEAFABAC??????????????????????????AEAF????????單位向量，以二者為鄰邊構造平行四邊形，則結果為菱形，故為的平分線，選APABC?B例３例３、的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，ABC?()OHmOAOBOC?????????

5、??????????3C三條中線的交點D三條高的交點分析分析移項后不難得出，，點O是的垂心，0OBCAOCABOACB????????????????????????????AAAABC?選D3推廣應用題推廣應用題例５例５在內(nèi)求一點，使最△ABCP222APBPCP??小分析分析如圖２，構造向量解決取為基向量，設，有CAaCBb????????????CPx??????APxaBPxb????????????????于是，2222222

6、2211()()3[()]()33APBPCPxaxbxxababab??????????????????????????當時，最小，此時，即，則點為1()3xab?????222APBPCP??1()3OPOAOBOC???????????????????P的重心△ABC例６例６已知為所在平面內(nèi)一點，滿足O△ABC，則為的心222222||||||||||||OABCOBCAOCAB??????????????????????????

7、???O△ABC分析分析將，也類似展開代入，已2222||()2BCOCOBOCOBOCOB?????????????????????????????????A22||||CAAB????????知等式與例４的條件一樣也可移項后，分解因式合并化簡，為垂心O例７例７已知為的外心，求證：O△ABCsinsinsin0OABOCOBAOCOCAOB????????????????分析分析構造坐標系證明如圖３，以為坐標A原點，在軸的正半軸，在軸