第二章 流體靜力學(xué)第一節(jié) 流體靜壓強(qiáng)及其特性

1、第二章 流體靜力學(xué),第一節(jié) 流體靜壓強(qiáng)及其特性,第七節(jié) 流體平衡微分方程式,第二節(jié) 流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律,第三節(jié) 壓強(qiáng)的計(jì)算基準(zhǔn)和度量單位,第四節(jié) 液柱測(cè)壓計(jì),第五節(jié) 靜止流體作用在平面上的總壓力,第六節(jié) 靜止流體作用在曲面上的總壓力,第一節(jié) 流體靜壓強(qiáng)及其特性,一、流體靜壓強(qiáng)的定義,二、流體靜壓強(qiáng)的特性,面積ΔA上的平均流體靜壓強(qiáng)P：,A 點(diǎn) 上 的 流 體 靜 壓 強(qiáng) P：,一.流體靜壓強(qiáng)的定義,流體靜

2、壓力：作用在某一面積上的總壓力；,流體靜壓強(qiáng)：作用在某一面積上的平均壓強(qiáng)或 某一點(diǎn)的壓強(qiáng)。,,流體靜壓力與流體靜壓強(qiáng)的區(qū)別：,1、靜壓強(qiáng)的方向— 沿作用面的內(nèi)法線方向,流體靜壓強(qiáng)的方向,二、流體靜壓強(qiáng)的特性,假定圖中某點(diǎn)的靜壓強(qiáng)不是垂直于作用面，則靜壓強(qiáng) p 必然可分解為兩個(gè)分量，—個(gè)與作用面相切，為切向分量，也就是切應(yīng)力；另一個(gè)與作用面相垂直，為法向分量。從牛頓內(nèi)摩擦定律中可以看出，靜止流體內(nèi)部是不會(huì)出現(xiàn)切應(yīng)力的，若

3、 ，則流體的平衡會(huì)遭到破壞。因而在靜止的流體中切向分量是不存在的，即 。因此，流體靜壓強(qiáng)只可能垂直于作用面。 又因?yàn)榱黧w處于靜止時(shí)不能承受拉應(yīng)力，拉應(yīng)力的存在也會(huì)破壞流體的平衡，所以流體靜壓強(qiáng)的方向必然是沿著作用面的內(nèi)法線方向。,,,由于流體內(nèi)部的表面力只存在著壓力，因此流體靜力學(xué)的根本問題是研究流體靜壓強(qiáng)的問題。,2、在靜止流體內(nèi)部，任一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方向無關(guān)，只與該點(diǎn)的位置有關(guān)。,

4、流體微小四面體平衡,在靜止的或相對(duì)靜止的流體中，取出一個(gè)包括O點(diǎn)在內(nèi)的微小四面體OABC，如圖2-3所示，并將O點(diǎn)設(shè)置為坐標(biāo)原點(diǎn)。取正交的三個(gè)邊長分別為dx、dy、dz，它們分別與坐標(biāo)軸x、y、z重合。與坐標(biāo)面x、y、z及傾斜面ABC垂直的面上平均壓強(qiáng)分別為px、py、pz及pn。,作用在各面上的流體靜壓力等于各面的平均靜壓強(qiáng)與該作用面面積的乘積，即,,作用在微小四面體上的質(zhì)量力在各軸向的分力等于單位質(zhì)量力在各軸向的分力與流體質(zhì)量的乘積

5、。流體的質(zhì)量等于流體密度與微小四面體體積的乘積。設(shè)單位質(zhì)量力在x、y、z軸的分力分別是，則質(zhì)量力在各軸向的分力為：,,微小四面體在上述表面力和質(zhì)量力的作用下處于平衡狀態(tài)，則外力的軸向平衡關(guān)系式為：,,微小四面體在上述表面力和質(zhì)量力的作用下處于平衡狀態(tài)，外力的軸向平衡關(guān)系式為： ，即各向分力投影之和為零：,,,x方向受力分析:,上式第（1）項(xiàng)展開寫成：,當(dāng)四面體無限地趨于O點(diǎn)時(shí)，則dx趨于0，所以有：px=pn 。,類似

6、地有：px=py=pz=pn,,,,說明：,1. 靜止流體中不同點(diǎn)的壓強(qiáng)一般是不等的，一 點(diǎn)的各向靜壓強(qiáng)大小相等。,2.運(yùn)動(dòng)流體是理想流體時(shí)，由于μ=0，不會(huì)產(chǎn)生切應(yīng)力，所以理想流體動(dòng)壓強(qiáng)呈靜水壓強(qiáng)分布特性。,第二節(jié) 流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律,一、重力作用下流體靜壓強(qiáng)的基本方程二、 分界面和自由面是水平面三、氣體壓強(qiáng)計(jì)算四、等密面是水平面,一、重力作用下流體靜壓強(qiáng)的基本方程,在靜止液體中，任意取出一傾斜放置的微小圓柱體，微小圓柱體長為

7、△?，端面積為dA，并垂直于柱軸線。周圍的液體對(duì)圓柱體有側(cè)面壓力及兩端面壓力。側(cè)面壓力與軸向正交，沿軸向沒有分力；軸的兩端面的壓力為P1和P2。 靜止液體受的質(zhì)量力只有重力，重力與軸線夾角為?，可以分解為平行于軸向的G·cos ?和垂直于軸向的G·sin ? 兩個(gè)分力。,傾斜微小圓柱體軸向力的平衡，就是兩端壓力P1、P2及重力的軸向分力G·cos ?三個(gè)力作用下的平衡。即,微小圓柱體斷面積dA極小，斷面

8、上各點(diǎn)壓強(qiáng)的變化可以忽略不計(jì)，可以認(rèn)為斷面各點(diǎn)壓強(qiáng)相等,設(shè)圓柱上端面的壓強(qiáng)p1,下端面的壓強(qiáng)p2，端面壓力為P1＝ p1dA，P2＝ p2dA，重力G=γ△?dA，代入上式，得:,消去dA，并由于△? G·cos ?=△h，整理得壓強(qiáng)關(guān)系式：,傾斜微小圓柱體的端面是任意選取的。因此，可以得出普遍關(guān)系式：即靜止液體中任兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差等于兩點(diǎn)間的深度差乘以容重。壓強(qiáng)隨深度不斷增加，而深度增加的方向就是靜止液體的質(zhì)量力——重力作用的方

9、向。所以，壓強(qiáng)增加的方向就是質(zhì)量力的作用方向。,用壓強(qiáng)關(guān)系式求靜止液體內(nèi)某一點(diǎn)的壓強(qiáng)，設(shè)液面壓強(qiáng)為po，液體容重為γ，該點(diǎn)在液面下深度為h，則：,流體靜力學(xué)基本方程式,結(jié)論：,1）僅在重力作用下，靜止流體中某一點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)隨深度按線性規(guī)律增加。,2）僅在重力作用下，靜止流體中某一點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)等于表面壓強(qiáng)加上流體的容重與該點(diǎn)淹沒深度的乘積。,3）自由表面下深度h相等的各點(diǎn)壓強(qiáng)均相等——只有重力作用下的同一連續(xù)連通的靜止流體的等壓面是水平面

10、。,設(shè)水箱水面的壓強(qiáng)為po，水中1、2點(diǎn)到任選基準(zhǔn)面o—o的高度為Zl及Z2，壓強(qiáng)為p1及p2，將式中的深度改為高度差后得：,液體靜力學(xué)基本方程式的另一種形式,這就是液體靜力學(xué)基本方程式的另一種形式，也是我們常用的水靜壓強(qiáng)分布規(guī)律的一種形式。,結(jié)論：在同一種液體中，無論哪一點(diǎn)(Z+P/ γ)總是一個(gè)常數(shù)。,幾何意義：,位置水頭z ：任一點(diǎn)在基準(zhǔn)面0-0以上的位置高度，表示單位重量流體從某一基準(zhǔn)面算起所具有的位置勢(shì)能，簡稱位能。,壓強(qiáng)水頭

11、　　　 ：表示單位重量流體從壓強(qiáng)為大氣壓算起所具有的壓強(qiáng)勢(shì)能，簡稱壓能（壓強(qiáng)水頭），是該點(diǎn)在壓強(qiáng)作用下沿測(cè)壓管所能上升的高度。,測(cè)壓管水頭（ ）：測(cè)壓管水頭，它表示測(cè)壓管水面相對(duì)于基準(zhǔn)面的高度。,兩水頭相加等于常數(shù)，表示同一容器的靜止液體中，所有各點(diǎn)的測(cè)壓管水頭均相等。因此，在同一容器的靜止液體中，所有各點(diǎn)的測(cè)壓管水面必然在同一水平面上。,能量意義：,表示單位重量流體的壓力能，稱為比壓力能。因?yàn)閴毫?/p>

12、p、體積為V的流體所做的膨脹功為pV，則單位重量物體所具有的壓力能為：pV/G=p/γ。比位能z和比壓力能p/γ的單位都是焦耳/牛頓。,式中z表示單位重量流體相對(duì)于某一基準(zhǔn)面的位能，稱為比位能。從物理學(xué)得知，把質(zhì)量為m的物體從基準(zhǔn)面提升一定高度z后，該物體所具有的位能是mgz，則單位重量物體所具有的位能為：(mgz)/(mg)=z。,稱為單位重量流體的總勢(shì)能。,重力作用下靜止流體中各點(diǎn)的單位重量流體的總勢(shì)能是相等的。這就是靜止流體中的

13、能量守恒定律。,二、分界面和自由面是水平面,兩種容重不同萬不混合的液體，在同一容器中處于靜止?fàn)顟B(tài)，兩種液體之間形成分界面。這種分界面既是水平面又是等壓面?，F(xiàn)在，我們從反面證明如下：,圖2—9盛有γ2＞ γ1的兩種不同液體，設(shè)分界面不是水平面而是傾斜面，我們?cè)诜纸缑嫔先芜x1、2兩點(diǎn)，其深度差為△ｈ，根據(jù)壓差關(guān)系式，從分界面上、下兩方分別求壓差為：,由于液體容重不等于零，且γ2＞ γ1 。必然是△ｈ＝0，即分界面是水平面，不可能是傾斜面。

14、將△ｈ＝0代人壓差關(guān)系式，得△ｐ＝0。這就證明分界面是等壓面，所以，分界面既是水平面又是等壓面。,靜止的液體和氣體接觸的自由面，受到相同的氣體壓強(qiáng)，所以，自由面是分界面的一種特殊形式。它既是等壓面，也是水平面?！　⌒枰赋觯荷鲜鲆?guī)律是在同種液體處于靜止、連續(xù)的條件下推導(dǎo)出來的。因此，液體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律只適用于靜止、同種、連續(xù)液體。,靜力學(xué)基本方程的適用條件：,1. 靜止,2. 連通(連續(xù)),3. 連通的介質(zhì)為同一均質(zhì)流體,4. 質(zhì)量力

15、僅有重力,5. 同一水平面,三、氣體壓強(qiáng)計(jì)算,以上規(guī)律，雖然是在液體的基礎(chǔ)上提出采納，但對(duì)不可壓縮氣體也仍然適用。由于氣體容重很小，在高差不大的情況下，氣柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)值很小，可以忽的壓強(qiáng)的影響，則流體靜力學(xué)基本方程式　　　　　　　　可以簡化為： 表示空間各點(diǎn)氣體壓強(qiáng)相等．例如認(rèn)為液體容器，測(cè)壓管、鍋爐等上部的氣體空間各點(diǎn)的壓強(qiáng)也是相等的。,四、等密面是水平面,在靜止非均質(zhì)流體中，取軸線水平的微小圓柱體如圖2—12。作用在靜止

16、流體上的質(zhì)量力只有重力，側(cè)面壓力垂直于軸線，所以這兩種力沿軸向均無分力。沿軸向外力的平衡，表現(xiàn)為兩端面壓力相等。兩端面的面積相等，則壓強(qiáng)也必然相等。即p1＝p2圓體體軸線在水平面上是任意選取的，兩點(diǎn)壓強(qiáng)相等，說明水平面上各點(diǎn)壓強(qiáng)相等，非均質(zhì)流體的水平面仍然是等壓面。,靜止均質(zhì)流體的水平面是等壓面是否也適用于靜止非均質(zhì)流體呢？,水平面上的容重是否變化呢? 在靜止非均質(zhì)流體內(nèi)部，取相距為△h的兩個(gè)水平面，在它們之間任選兩個(gè)鉛直微小住體，

17、分別計(jì)算它們的壓強(qiáng)差為：,兩柱體的壓強(qiáng)差相等，因而γa必等于γb，否則，流體就不會(huì)靜止，要流動(dòng)。當(dāng)兩等壓面無限接近，即△h→0時(shí)， γa和 γb就變成同一等壓面上兩點(diǎn)的容重，此兩點(diǎn)容重相等，說明水平面不僅是等壓面，而且是等容重面。容重與密度成正比，所以，等容重面也是等密度面。,第三節(jié) 壓強(qiáng)的計(jì)算基準(zhǔn)和度量單位,一、壓強(qiáng)的兩種計(jì)算基準(zhǔn)（絕對(duì)壓強(qiáng)和相對(duì)壓強(qiáng)）,c.真空：是指絕對(duì)壓強(qiáng)小于一個(gè)大氣壓的受壓狀態(tài)，是負(fù)的相對(duì)壓強(qiáng)。,a.絕對(duì)壓強(qiáng)

18、：是以絕對(duì)真空狀態(tài)下的壓強(qiáng)（絕對(duì)零壓強(qiáng)）為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng)，用      表示。,b. 相對(duì)壓強(qiáng)：又稱“表壓強(qiáng)”，是以當(dāng)?shù)毓こ檀髿鈮?at) 為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng)。用表示 ， 可“＋”可“– ”，也可為“0”。,正 壓：相對(duì)壓強(qiáng)為正值（壓力表讀數(shù)）。負(fù) 壓：相對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值。真空度：負(fù)壓的絕對(duì)值(真空表讀數(shù)，用Pv表示)。,,敞開容器中靜止流體的A點(diǎn)相對(duì)壓強(qiáng)的計(jì)算,

19、相對(duì)壓強(qiáng)的實(shí)際意義 1．假定容器的活塞打開，容器內(nèi)外氣體壓強(qiáng)一致，po＝pa，相對(duì)壓強(qiáng)為零。,2．假定容器的壓強(qiáng)po＞pa ，這個(gè)超過大氣壓強(qiáng)的部分，對(duì)器壁產(chǎn)生的力學(xué)效應(yīng)，使器壁向外擴(kuò)張。如果打開活塞，氣流向外流出，流出速度與相對(duì)壓強(qiáng)的大小有關(guān)。,3．假定容器壓強(qiáng)嚴(yán)po ＜ pa 。大氣壓強(qiáng)的部分對(duì)器壁產(chǎn)生力學(xué)效應(yīng)，使容器向內(nèi)壓縮。打開活塞，空氣一定會(huì)吸入，吸入的速度也和負(fù)的相對(duì)壓強(qiáng)大小有關(guān)。,二、壓強(qiáng)的三種度量單位,a.應(yīng)力單位,這

20、是從壓強(qiáng)定義出發(fā)，以單位面積上的作用力來表示的，N/m2，Pa，kN/ m2 ，kPa。,b.大氣壓,標(biāo)準(zhǔn)大氣壓：1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓(atm)=1.013X105Pa=101.3 kPa,工程大氣壓：at （1kgf/㎡）,c.液柱高度,水柱高mH20：1atm相當(dāng)于,1at相當(dāng)于,汞柱高mmHg：1 atm相當(dāng)于,1at相當(dāng)于,常用換算關(guān)系：1atm=1.03323at=101325Pa=1.01325bar=760mmHg=1

21、0332.3mmH2O1at=98070Pa=10000mmH2O=735.6mmHg,第四節(jié) 液柱測(cè)壓計(jì),一、測(cè)壓管,測(cè)壓管：是以液柱高度為表征測(cè)量點(diǎn)壓強(qiáng)的連通管。一端與被測(cè)點(diǎn)容器壁的孔口相連，另一端直接 和大氣相通的直管。,適用范圍：測(cè)壓管適用于測(cè)量較小的壓強(qiáng)，但不適合測(cè)真空。,注意：,1.由于各種液體重度不同，所以僅標(biāo)明高度尺寸不能代表壓力的大小，還必須同時(shí)注明是何種液體的液柱高度才行。,2.測(cè)壓管只適用于測(cè)量較小的壓力，一般

22、不超過10kPa。如果被測(cè)壓力較高，則需要加長測(cè)壓管的長度，使用就很不方便。,3.測(cè)壓管中的工作介質(zhì)就是被測(cè)容器(或管道)中的流體，所以測(cè)壓管只能用于測(cè)量液體的正壓，而對(duì)于測(cè)量液體的負(fù)壓以及氣體的壓力則不適用。,4.在測(cè)量過程中，測(cè)壓管一定要垂直放置，否則將會(huì)產(chǎn)生測(cè)量誤差。,二、U形測(cè)壓計(jì),這種測(cè)壓計(jì)是一個(gè)裝在刻度板上的兩端開口的U型玻璃管。測(cè)量時(shí)，管的一端與大氣相通，另一端與被測(cè)容器相接(如圖)，然后根據(jù)U型管中液柱的高度差來計(jì)算被測(cè)

23、容器中流體的壓力。U型管內(nèi)裝有重度γ2大于被測(cè)流體重度γ1的液體工作介質(zhì)，如水、酒精、四氯化碳和水銀等。它是根據(jù)被測(cè)流體的性質(zhì)、被測(cè)壓力的大小和測(cè)量精度等來選擇的。,注意，工作介質(zhì)與被測(cè)流體相互不能摻混。,如果被測(cè)流體的壓力較高，用一個(gè)U型管則較長，可以采用串聯(lián)U型管組成多U型管測(cè)壓計(jì)。通常采用雙U型管或三U型管測(cè)壓計(jì)。,圖b,測(cè)壓管水面低于A點(diǎn)，以1-1為等壓面，則 故A點(diǎn)的負(fù)壓或真空度為： 如果需要測(cè)定氣體壓強(qiáng)，可以采用u形

24、管盛水，如圖c所示。因?yàn)榭諝馊葜剡h(yuǎn)小于水，一般容器中的氣體高度又不太大，因此、可以忽略氣柱高度所產(chǎn)生的壓強(qiáng)。認(rèn)為靜止氣體充滿的生間各點(diǎn)膿強(qiáng)相等?，F(xiàn)仍以1-1面為等壓面，則,圖a,測(cè)壓管水面高于A點(diǎn)，AA為正值。即,U型管差壓計(jì)用來測(cè)量兩個(gè)容器或同一容器(或管道等)流體中不同位置兩點(diǎn)的壓力差。測(cè)量時(shí)，把U型管兩端分別和不同的壓力測(cè)點(diǎn)A和B相接，如圖所示。,三、差壓計(jì),如果測(cè)量較小的液體壓力差時(shí)，也可以采用倒置式U型管差壓計(jì)。如果被測(cè)量的流

25、體的壓力差較大，則可采用雙U型管或多U型管差壓計(jì)。,圖a為測(cè)定A、B兩處液體壓強(qiáng)差的空氣壓差計(jì)．由于氣柱高度不大，可以認(rèn)為兩液面為等壓面，故得,需要測(cè)定的壓差較大時(shí)，采用圖b所示的水銀壓差計(jì)。根據(jù)1、2點(diǎn)為等壓面得,如A、B為同種液體，即γA＝γB＝ γ,如A、B為同種液體，在同一高度，ZI＝Z2，則,如果，A、B兩處為同一氣體，則,當(dāng)測(cè)量很微小的流體壓力時(shí)，為了提高測(cè)量精度，常常采用微壓計(jì)。微壓計(jì)的結(jié)構(gòu)如圖所示，一般用于測(cè)定氣體壓強(qiáng)。

26、它是由一個(gè)大容器連接一個(gè)可以調(diào)整傾斜角度的細(xì)玻璃管組成，其中盛有重度為γ的工作液體。,四、微壓計(jì),測(cè)壓前，微壓計(jì)兩端與大氣相通，容器與斜管內(nèi)的液面平齊。,當(dāng)測(cè)量容器或管道中的某處壓力時(shí)，將微壓計(jì)上端的測(cè)壓口與被測(cè)氣體容器或管道的測(cè)點(diǎn)相接，若被測(cè)氣體的壓力p＞pa，則在該壓力作用下，微壓計(jì)容器中液面下降至新位置,而傾斜玻璃管中的液面上升了?長度，其上升高度h= ?·sin? 。,當(dāng)測(cè)量時(shí)，?為定值，只需測(cè)得傾斜長度Z，就可得出壓

27、差。由于?＝/sin ?，當(dāng)sin ?＝0.5時(shí)，?＝2h；當(dāng)sin ?＝0.2時(shí)，?＝5h。說明傾斜角度越小，?比h放大的倍數(shù)就越大，側(cè)的精度就更高。,γ愈小，讀數(shù)?就越大。因此，常用容重比水更小的液體，例如酒精以提高精度。,用于測(cè)定較大的壓強(qiáng)。優(yōu)點(diǎn)：攜帶方便、裝置簡單、安裝容易、測(cè)讀方便、經(jīng)久耐用，是測(cè)量壓強(qiáng)的主要儀器。構(gòu)造：常用的一種彈簧測(cè)壓計(jì)見圖。原理：其內(nèi)裝有一端開口，一端封閉端面為橢圓形的鐮刀形黃銅管，開口端與被測(cè)定壓

28、強(qiáng)的液體連通，測(cè)壓時(shí)，由于壓強(qiáng)的作用，黃銅管隨著壓強(qiáng)的增加而發(fā)生伸展，從而帶動(dòng)扇形齒輪使指針偏轉(zhuǎn)，把液體的相對(duì)壓強(qiáng)值在表盤上顯示出來。,五、金屬壓力表,第五節(jié)  作用在平面上的流體靜壓力,在工程實(shí)際中，有時(shí)需要解決液體對(duì)固體壁面的總作用力問題。在已知流體的靜壓力分布規(guī)律后，求總壓力的問題，實(shí)質(zhì)上就是求受壓面上分布力的合力問題。本節(jié)討論作用在平面上的總壓力及其壓力中心。,作用在平面上總壓力的計(jì)算方法有兩種：,解析法和圖解法。,一

29、、解析法,1.平面總壓力大小,設(shè)有一與水平面成α夾角的傾斜平面ab，其面積為A，左側(cè)受水壓力，水面大氣壓強(qiáng)為p0，在平板表面所在的平面上建立坐標(biāo)，原點(diǎn)o取在平板表面與液面的交線上，ox軸與交線重合，oy軸沿平板向下。,設(shè)在受壓平面上任取一微元面積dA，其中心點(diǎn)在液面下的深度為h，作用在dA中心點(diǎn)上的壓強(qiáng)為p=p0+γh，則作用在微元面積dA上的總壓力為,dF=pdA=(p0+γh)dA=p0dA+γysinαdA,考慮相對(duì)壓強(qiáng),dF=p

30、dA=γhdA=γysinαdA,整個(gè)平面由無數(shù)dA組成，則整個(gè)平板所受水靜壓力由dF求和得到。,根據(jù)平行力系求和原理，作用在平面上的水靜壓力,式中 為面積A對(duì)ox軸的靜面矩，由理論力學(xué)知，它等于面積A與其形心坐標(biāo)yc的乘積，即,∴　F=γsinαycA=γhcA=pcA,上式表明：靜止液體作用在任意形狀平面上的總壓力的大小，等于該平面形心處的靜壓力與平面面積的乘積。液體總壓力的方向垂直指向受壓面的

31、內(nèi)法線方向。,2.確定總壓力的作用點(diǎn)——壓力中心,總壓力的作用點(diǎn)又稱為壓力中心。壓力中心D的位置，可根據(jù)理論力學(xué)中的合力矩定理求得，即各分力對(duì)某一軸的靜力矩之和等于其合力對(duì)同一軸的靜力矩。,微小面積dA所受水靜壓力 dF=γhdA=γysinαdA,對(duì)0x軸力矩,合力矩,總壓力F對(duì)ox軸的靜力矩為:,整個(gè)平面所受合壓力F，假設(shè)作用點(diǎn)距ox軸為yD，則：,根據(jù)合力矩定理,所以,式中　　　 為受壓面對(duì)ox軸的慣性矩,根據(jù)平行移軸定理：

32、,其中 為受壓面對(duì)通過平面形心并與平行于ox軸的軸的慣性矩。,∴,由于 恒為正值，故有yD＞yc。說明壓力中心D點(diǎn)總是低于形心C。,結(jié)論： （1）水靜壓力大小為形心處壓強(qiáng)乘以平面面積。 （2）水靜壓力方向垂直于受壓平面，并指向平面內(nèi)法線方向。 （3）作用點(diǎn)yD在形心下方，用yD= yC+ JC/ycA來算。,常見圖形的幾何特征量,例1：一鉛直船閘門門寬B=5m，閘門一側(cè)水深為H=7.5m，另

33、一側(cè)水深h=3m，求作用在此閘門上的水平合壓力及作用線位置。,解：左邊：迎水面積 形心： 作用力： 作用點(diǎn)： 右邊：面積　 形心,作用力：作用點(diǎn)： ∴ 合力作用線：假設(shè)合力的作用線距底邊為y，則：,代入數(shù)據(jù)，,例2：矩形閘門AB可繞其頂端A軸旋轉(zhuǎn)，由固定閘門上的一個(gè)重物來保持閘門的關(guān)閉。已知閘門寬1.2m，長0.9m，整個(gè)閘門和重物1000k

34、g，重心在G處，與A水平距離為0.3m，求水深多大時(shí)，閘門剛好打開（θ=60°，設(shè)水深為H）。,解：要使閘門打開，閘門迎水面所受水的總壓力對(duì)轉(zhuǎn)軸A的力矩至少應(yīng)等于閘門與重物重量對(duì)A的力矩。,M水≥M物（等號(hào)為剛好打開）,面積 A= b×h,形心,∴ 力,壓力作用點(diǎn)：,又,∵,∴,∴,代入以上數(shù)據(jù)，得 H≥0.88m故當(dāng) H=0.88m，閘門剛好打開。,二、圖解法,1.繪制水靜壓強(qiáng)分布圖,使用圖解法，首先需要繪制

35、靜壓力分布圖，然后再根據(jù)它來計(jì)算總壓力。,靜壓力分布圖是依據(jù)水靜力學(xué)基本方程p=p0+γh，直接在受壓面上繪制表示各點(diǎn)靜壓力大小和方向的圖形。,幾種常見受壓面的靜壓力分布圖。,靜水壓強(qiáng)分布圖繪制規(guī)則：1）按照一定的比例尺，用一定長度的線段代表靜水壓強(qiáng)的大 小； 2） 用箭頭標(biāo)出靜水壓強(qiáng)的方向，并與該處作用面垂直。受壓面為平面的情況下，壓強(qiáng)分布圖的外包線為直線；當(dāng)受壓面為曲線時(shí)，曲面的長度與水深不成直線函數(shù)關(guān)系，故壓強(qiáng)分布圖外包線

36、亦為曲線。,計(jì)算總壓力的大小,現(xiàn)在對(duì)高為H、寬為b、底邊平行于水平面的垂直矩形平面AB(如圖)，計(jì)算其總壓力，為,上式中 (2p0+γH)H/2 恰為靜壓力分布圖ABCD的面積，我們用Ω表示，則上式可寫成,P= Ω ·b,由此可見，液體作用在底邊平行于水平面的矩形平面上的總壓力，等于靜壓力分布圖的面積與矩形平面寬度的乘積。 或者說，其總壓力等于靜壓力分布圖的體積。,由于靜壓力分布圖所表示的正是力的分布情況，而總壓力則是平面上

37、各微元面積上所受液體壓力的合力。所以總壓力的作用線，必然通過靜壓力分布圖的形心，其方向垂直指向受壓面的內(nèi)法線方向。,判斷：下列壓強(qiáng)分布圖中哪個(gè)是錯(cuò)誤的？,第六節(jié) 作用在曲面上靜止流體的總壓力,Hoover Dam胡佛水壩,Channel,圖中圓柱長為?，母線與紙面垂直。受壓曲面AB，左側(cè)受水靜壓力作用，在表面上任意取一微元面積dA取一點(diǎn)E，E點(diǎn)距水面距離為h，以E點(diǎn)為中，則作用在dA上的水靜壓力為：,假設(shè)dP與水平面夾角為θ，則dP在

38、水平方向和鉛直方向的分量：,水平方向,鉛直方向,從右圖可得：,——微元面在鉛直面上的投影,——微元面在水平面上的投影,∴,則,1、水平方向：,為面AB在鉛直面上的投影面積Az對(duì)水面水平軸的靜矩。,假設(shè)hc為Az的形心在水面下淹沒深度則,作用在曲面上流體壓力的水平分量是Px等于作用于該曲面鉛直投影面上的水靜壓力。,2、鉛直方向：,hdAx是以dAx為底面積，水深h為高的柱體體積；,則為整個(gè)受壓曲面AB與其在自由面的投影面CD這兩個(gè)面之間的

39、柱體ABCD的體積；,∴,——鉛直分量Pz為其壓力體的液體重量。,3、壓力體,壓力體體積的組成：,⑴受壓曲面本身；⑵通過曲面周圍邊緣所作的鉛垂面； ⑶自由液面或自由液面的延長線。,壓力體的種類：,實(shí)壓力體和虛壓力體。實(shí)壓力體Fz方向向下，虛壓力體Fz方向向上。,4、壓力體的繪制,動(dòng)畫一,動(dòng)畫二,動(dòng)畫六,動(dòng)畫五,動(dòng)畫四,動(dòng)畫三,4、靜水總壓力,1）作用在曲面上的靜水總壓力大小：,2）作用線與水平方向的夾角：,3. 總壓力的

40、合成  總壓力的大小利用水平分力及鉛垂分力通過求合力的方法求得。,結(jié)論：曲面上的靜水總壓力的計(jì)算,1.計(jì)算水平分力  正確繪制曲面的鉛垂投影圖，求出該投影圖的面積及形心深度，然后求出水平分力；,2.計(jì)算鉛垂分力  正確繪制曲面的壓力體。壓力體體積由以下幾種面圍成：受壓曲面本身、通過曲面周圍邊緣作的鉛垂面、液面或液面的延長線。鉛垂分力的大小即為壓力體的重量；,例1：如圖所示一擋水弧形閘門，

41、已知R=2m,θ=30度,h=5m,試求單位寬度所受的水靜總壓力的大小。,解：水平方向的壓力等于面EB上的水壓力：,鉛直方向的壓力等于壓力體CABEDC的水重。分成兩部分：,1.,2.,則：,代入數(shù)據(jù)得：,第七節(jié) 流體平衡微分方程式,一.流體平衡微分方程式,二.有勢(shì)質(zhì)量力及力的勢(shì)函數(shù),三.等壓面,一、流體平衡微分方程——?dú)W拉平衡方程,在流體內(nèi)部取以任意點(diǎn)A為中心的微小正六面體，六面體的各邊分別與直角坐標(biāo)軸平行，邊長分別為dx、dy、d

42、z。中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為 p(x,y,z)=p，對(duì)其進(jìn)行受力分析：,1.方程推導(dǎo),靜止流體只受到質(zhì)量力和由壓力產(chǎn)生的法向表面力，這些力應(yīng)該滿足的關(guān)系——流體平衡的微分方程式。,作用在六面體上的表面力只有周圍流體對(duì)它的壓力。因此先確定六面體各面上的壓強(qiáng)。設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為x、y、z，壓強(qiáng)為p。由于壓強(qiáng)是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，則離該點(diǎn) 處的壓強(qiáng)為 ，并且可將

43、 在 處用泰勒級(jí)數(shù)展開，即,,,,,,,,,,,,如果dy為無限小量，則在上述級(jí)數(shù)中二階及二階以上的高階小量均可略去，即等號(hào)右邊只取前兩項(xiàng)已經(jīng)可以滿足精度要求，則上式可以簡寫為：,,則沿y軸方向的六面體邊界面abcd和 中心點(diǎn)處的壓強(qiáng)分別為 和 。作用在這兩個(gè)面上的法向力為

44、 和 。,,,,,,當(dāng)微小六面體處于平衡狀態(tài)時(shí)，ｙ方向的合力為０，即：,,同理可以寫出ｘ、ｚ方向的力平衡方程式，即：,,用 除以上x、y、z軸方向的力平衡方程式，并化簡得,,以上三個(gè)式子用矢量形式表示為,,這就是流體平衡微分方程式。它是歐拉在1755年首先提出的，所以又稱為歐拉平衡微分方程式。,2.物理意義：,1）處于平衡狀態(tài)的流體，單位

45、質(zhì)量流體所受的表面力分量與 質(zhì)量力分量彼此相等。,2）壓強(qiáng)沿軸向的變化率（           ）等于軸向單位體積上的質(zhì)量力的分量（X，Y，Z）。,歐拉平衡微分方程是流體靜力學(xué)最基本的方程，它 可解決流體靜力學(xué)中許多基本問題。,1.歐拉平衡微分方程適用于靜止流體、相對(duì)靜止的流體 在推導(dǎo)歐拉平衡微分方程的過程中，對(duì)質(zhì)量力的

46、性質(zhì)及方向并未作具體規(guī)定。 2.歐拉平衡微分方程適用于可壓縮流體、不可壓縮流體。 在推導(dǎo)中對(duì)整個(gè)空間的流體密度是否變化或如何變化也未加限制。 3.歐拉平衡微分方程適用于理想流體、粘性流體。 流體是處在平衡或相對(duì)平衡狀態(tài)，各流層間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。,說明,流體平衡微分方程的另一種形式,因?yàn)閜 = p(x,y,z),壓強(qiáng)全微分,流體平衡微分式方程兩邊乘以dx,dy,dz后相加得：,如果流體是不可壓縮的，即P為常

47、數(shù)。上式右邊的括號(hào)內(nèi)的數(shù)值必然是某一函數(shù)W(x、y、z)的全微分，即,二、有勢(shì)質(zhì)量力及力的勢(shì)函數(shù),,滿足上式的函數(shù)W(z、y點(diǎn))稱為勢(shì)函數(shù)。具有這樣勢(shì)函數(shù)的質(zhì)量力稱為有勢(shì)的力。,凡滿足不可壓縮流體平衡微分方程的質(zhì)量力必然是有勢(shì)力?；蛘哒f：不可壓縮流體只有在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下才能夠處于平衡狀態(tài)。,當(dāng)質(zhì)量力只有重力時(shí),即為流體靜力學(xué)基本方程式,三、等壓面,1.等壓面的定義：是指流體中壓強(qiáng)相等（p=常數(shù)）的各點(diǎn)所組成的面。,等壓面滿足的方程

48、,2.等壓面具有的重要特性：,1）不可壓縮流體中，等壓面與等勢(shì)面重合。,所謂等勢(shì)面就是力的勢(shì)函數(shù)W(x，y，z)=C的面。對(duì)于不可壓縮流體，等壓面也就是等勢(shì)面。,2）在平衡流體中，作用于任一點(diǎn)的質(zhì)量力必定垂直于通過該點(diǎn)的等壓面。,答案：c,A. f水f水銀；  C. f水=f水銀；  D、不一定。,例1：比較重力場(chǎng)（質(zhì)量力只有重力）中，水和水銀所受的單位質(zhì)量力f水和f水銀的大??？,自由

49、落體：X＝Y(jié)=0,Z=0。 加速運(yùn)動(dòng)：X=-a,Y=0,Z=-g。,例題2：試問自由落體和加速度a向x方向運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的液體所受的單位質(zhì)量力大?。╢X. fY. fZ）分別為多少？,39.2kpa 3m,例３. 如圖所示的密閉容器中，液面壓強(qiáng)p0＝9.8kPa，A點(diǎn)壓強(qiáng)為49kPa，則B點(diǎn)壓強(qiáng)為多少 ,在液面下的深度為多少 。,例1,如圖所示，       

50、0;    ，下述兩個(gè)靜力學(xué)方程哪個(gè)正確？,B,A,答案 B,例2：僅在重力作用下,靜止液體中任意一點(diǎn)對(duì)同一基準(zhǔn)面的單位勢(shì)能為_______？,A. 隨深度增加而增加；    B. 隨深度增加而減少；  C. 常數(shù)；            

51、   D. 不確定。,答案：C,例3：試問圖示中A、 B、 C、 D點(diǎn)的測(cè)壓管高度，測(cè)壓管水頭。（D點(diǎn)閘門關(guān)閉，以D點(diǎn)所在的水平面為基準(zhǔn)面）,D:6m，6m,C:3m，6m,B:2m，6m,A:0m，6m,例1.相對(duì)壓強(qiáng)是指該點(diǎn)的絕對(duì)氣壓與_______ 的差值。A 標(biāo)準(zhǔn)大氣壓；B 當(dāng)?shù)卮髿鈮?；C 真空壓強(qiáng)； D 工程大氣壓。,答案：B,例2.某點(diǎn)的真空度為65000Pa,當(dāng)?shù)卮髿鈮簽?.1M

52、Pa該點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng)為（ ）。A:65000Pa B:35000Pa C:165000Pa D:100000Pa,答案：B,3. 露天水池,水深5m處的相對(duì)壓強(qiáng)（）。 A:5kPa B:49kPa C:147kPa D:205kPa,例3,答案：B,例4：一密閉容器內(nèi)下部為水，上部為空氣，液面下4.2m處測(cè)壓管高度為2.2m，設(shè)當(dāng)?shù)卮髿鈮簽?個(gè)工程大氣壓，則容器內(nèi)絕對(duì)壓強(qiáng)為幾

53、米水柱?,,A. 2m；    B. 8m； C. 1m；     D. -2m。,答案：B,例5.某點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng)等于0.4個(gè)工程大氣壓，其相對(duì)壓強(qiáng)為________。A.0.6工程大氣壓；B.-0.4工程大氣壓； C.-58.8kPa D.-39.2kPa,答案：C,下一頁,例6. 僅在重力作用下，靜止液體

54、的測(cè)壓管水頭線必定________.A 水平 B 線形降低 C 線形升高 D 呈曲線,答案：A,例7. 某點(diǎn)壓強(qiáng)為1.0kgf/cm^2,用國際單位表示該處的壓強(qiáng)為______kPa。 A.100; B.98; C.1000; D.980,答案：B,例8. 僅在重力作用下，靜止液體的_____線必為水平線。A.位置水頭； B.測(cè)壓管高度； C.壓強(qiáng)水頭; D.測(cè)壓管