第二章 概率論悖論

1、第二章概率論悖論近來(lái)，幾乎沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)教師不知道概率對(duì)生活的重要，按約瑟夠巴特勒的說(shuō)法，概率是“生活的真正指南”，正如它是現(xiàn)代科學(xué)的每一學(xué)科的指南一樣。可以肯定地預(yù)言，幾年以后大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)生將要學(xué)習(xí)更多的概率論，包括它在科學(xué)、技術(shù)和政府中的無(wú)限應(yīng)用。最近一本較為成功的普通數(shù)學(xué)教科書(shū)——哈洛爾德雅可比的《數(shù)學(xué)—人類的魄力》就有很長(zhǎng)篇幅介紹初等概率論。學(xué)生閱讀這些材料，或者其他著名教科書(shū)中的同樣內(nèi)容，將會(huì)充實(shí)地閱讀本書(shū)所需的真知灼見(jiàn)的背景知

2、識(shí)，還可以向他提供充分理解本書(shū)內(nèi)容所需的一切資料。我們相信還沒(méi)有深入學(xué)習(xí)概率論的學(xué)生在看了此書(shū)之后將被激起學(xué)習(xí)概率論的強(qiáng)烈愿望。在數(shù)學(xué)中沒(méi)有任何一個(gè)其他分支有這么多例子能說(shuō)明直覺(jué)會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論，而正確的解答又與常識(shí)矛盾。當(dāng)一個(gè)學(xué)生看到一個(gè)概率悖論時(shí)，他的第一個(gè)反應(yīng)是不相信。他的第二個(gè)反應(yīng)幾乎肯定是想要清除疑云迷霧。自然，要是不學(xué)一點(diǎn)概率論這肯定是辦不到的。在本書(shū)中，我們除選取了一些基本問(wèn)題之外，還選了一些與讀者的經(jīng)驗(yàn)最接近，最能引起興

3、趣的問(wèn)題。用撲克牌和骰子做的簡(jiǎn)單游戲特刪有吸引力。相反，我們避免了如量子力學(xué)這類科學(xué)領(lǐng)域的問(wèn)題，這些東西盡管也充滿悖論可是它們遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了一般中學(xué)生的理解能力。我們還力圖盡可能清楚地作出每一個(gè)解答。這往往要列舉一切可能的情況，使人們毫不懷疑解答的正確性。這類問(wèn)題有很多都可以用公式或代數(shù)方法簡(jiǎn)便解出。不過(guò)，對(duì)于初學(xué)的學(xué)生，用較笨的方法解問(wèn)題不僅容易些，而且還有助于深入體察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)。一個(gè)已發(fā)生興趣的學(xué)生將會(huì)找到時(shí)間來(lái)學(xué)會(huì)如何用更高明的方法解

4、這類問(wèn)題。這本小冊(cè)子的主要目的，是幫助你用小故事作階梯來(lái)引導(dǎo)學(xué)生深入到概率論較深?yuàn)W的內(nèi)容中去。我們已努力寫(xiě)入盡可能多的背景知識(shí)，它們一則對(duì)課堂討論有用，二則預(yù)先提出了一些較機(jī)靈的學(xué)生可能提出的問(wèn)題。我們還附加了一些其他的與畫(huà)片很接近的悖論，我們相信它同樣有意思。我們還花了一定力量建立很多使用撲克和硬幣的悖論范例。這樣問(wèn)題就可按這種游戲來(lái)闡明，而不需要昂貴的教學(xué)設(shè)施。我們希望讀者能發(fā)現(xiàn)這些問(wèn)題的艱深。其中有些涉及到人們不了解的賭博游戲，這

5、種游戲可能是激發(fā)起學(xué)生興趣的基礎(chǔ)。大多數(shù)人很難相信一個(gè)獨(dú)立事件的概率由于某種原因會(huì)不受臨近的同類獨(dú)立事件的影響。比如，第一次世界大戰(zhàn)期間，前線的戰(zhàn)士要找新的彈坑藏身。他們確信老的彈坑比較危險(xiǎn)，因?yàn)樗麄兿嘈判屡趶椕欣蠌椏拥目赡苄暂^大。因?yàn)?，看起?lái)不可能兩個(gè)炮彈一個(gè)接一個(gè)都落在同一點(diǎn)，這樣他們就合理地認(rèn)為新彈坑在一段時(shí)間內(nèi)將會(huì)安全一些。有一個(gè)故事講的是很多年前有一個(gè)人坐飛機(jī)到處旅行。他擔(dān)心可能哪一天會(huì)有一個(gè)旅客帶著隱藏的炸彈。于是他就總是

6、在他的公文包中帶一枚他自己卸了火藥的炸彈。他知道一架飛機(jī)上不太可能有某個(gè)旅客帶著炸彈，他又進(jìn)一步推論，一架飛機(jī)上同時(shí)有兩個(gè)旅客帶炸彈是更加不可能的事。事實(shí)，他自己帶的炸彈不會(huì)影響其他旅客攜帶炸彈的概率，這種想法無(wú)非是以為一個(gè)硬幣扔出的正反面會(huì)影響另一個(gè)硬幣的正反面的另一種形式而已。所有輪盤(pán)賭中最受歡迎的系統(tǒng)是戴倫伯特系統(tǒng)，它正是以賭徒未能認(rèn)識(shí)到獨(dú)立事件的獨(dú)立性這一“賭徒謬誤”為基礎(chǔ)的。參與者賭紅色或黑色（或其他任何一個(gè)對(duì)等賭金的賭），每

7、賭失敗一次就加大賭數(shù)，每賭贏一次就減少賭數(shù)。他們猜想，如果小小的象牙球讓他贏了，那么就會(huì)有某種原因“記住”它，不太可能讓他在下一次再贏；如果小球使他輸了，這將感到抱歉，很可能幫助他在下一次贏。事實(shí)是每一次旋轉(zhuǎn)，輪盤(pán)都與以前旋的結(jié)果無(wú)關(guān)，這就十分簡(jiǎn)單地證明了，任何一個(gè)賭博系統(tǒng)給賭徒的好處都不會(huì)比給賭場(chǎng)主的還多。約翰斯卡恩在他的“賭博大全”一書(shū)中寫(xiě)道：“當(dāng)你象一般組織好的賭賽中常有的情況，你要因賭場(chǎng)主設(shè)賭而給他一定百分比的錢，故你贏的機(jī)會(huì)就

8、如數(shù)學(xué)家所說(shuō)的是負(fù)的期望。當(dāng)你使用一種賭博系統(tǒng)時(shí)，你總要賭好多次，而每一次都是“負(fù)的期望”。絕無(wú)辦法把這種負(fù)期望加成正的……“埃德加阿倫坡寫(xiě)的骰子的笑話出在他的偵探故事的跋中，題為“瑪麗羅杰特之謎”。一粒骰子，一枚硬幣，一個(gè)賭盤(pán)，或者任何一種隨機(jī)裝置，都會(huì)產(chǎn)生一系列獨(dú)立事件，這些事件無(wú)論如何也不會(huì)受到這種裝置過(guò)去狀態(tài)的影響。如果你們總愿意相信某種賭徒謬誤，那么一個(gè)有意義的課堂活動(dòng)就是假裝玩一次實(shí)際的以賭徒謬誤為基礎(chǔ)的賭博游戲。比如，一個(gè)