高一數(shù)學(xué)競賽選拔題(解答)

1、余姚中學(xué)高一數(shù)學(xué)競賽選拔題（解答）（考試時間：90分鐘）（每題10分，滿分：100分）1.（2008年北京大學(xué)自主招生試題）求證：邊長為1的正五邊形對角線長為512?1xx1xxx54321EDCBA三角形ABE∽三角形DAE則：1151251AC=1x=2xxxx?????對角線解：。值域為。1726472)(22???????xxxxxf]321515[4.（2000年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽）f(x)是定義在R上的函數(shù)，對任意的x∈R

2、，都有f(x3)≤f(x)3和f(x2)≥f(x)2，設(shè)g(x)=f(x)x，（1）求證g(x)是周期函數(shù)；（2）如果f(998)=1002，求f(2000)的值。解：本例的難度顯然又有增加，主要是難以具體化。只能在抽象的層面來解決問題（1）g(x)=f(x)x，可得g(x2)=f(x2)x2，g(x3)=f(x3)x3，再以f(x3)≤f(x)3和f(x2)≥f(x)2代換，可得，①xxfxxfxg???????)(22)()2(，②

3、xxfxxfxg???????)(33)()3(由①可得g(x4)≥f(x2)x2≥f(x)2x2=f(x)x，g(x6)≥f(x2)x2≥f(x)x。③由②可得g(x6)≤f(x3)x3≤f(x)x，④由③、④知g(x6)=f(x)x=g(x)。∴g(x)是周期函數(shù)獲證（6是它的一個周期）（2）2000998=1002是6的整數(shù)倍，所以g(2000)=g(998)，即f(2000)2000=f(998)998f(2000)=f(998

4、)1002=10021002=2004。本題的不同之處在于沒有“具體化”，而是利用f(x3)與f(x2)的反復(fù)操作以求g(x6)與f(x)的關(guān)系，進而得到g(x6)=g(x)，以達到證明的目的。5、對集合1，2，…，n及其每一個非空了集，定義一個唯一確定的“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后交替地減或加后繼的數(shù)所得的結(jié)果，例如，集合的“交替和”是96421=6.的“交替和”是65=1，的交替和是2。那么，對于n=7。求所有