關于傳染病模型

1、關于關于SARS模型的建立與相關的預測分析本文先根據材料提供的模型與數據較為扼要地分析了附件1的模型的優(yōu)缺點，摘要：全面地評價了該模型的合理性與實用性。而后在對問題進行較為全面評價的基礎上引入更為全面合理的假設和建立系統(tǒng)分析模型。運用聯立微分方程組體現疫情發(fā)展過程中各類人的內在因果聯系，并在此基礎上運用經典的龍格——庫塔微分方程求解算法結合MATLAB編程程序在附件一擬合出與實際較為符合的曲線并進行了疫情預測。同時運用雙線性函數模型對衛(wèi)

2、生部的措施進行了評價并給出建議。而后運用差分方程（程序在附件二）就SARS對經濟（主要是旅游業(yè)）的影響進行了較為準確的分析，進而通過模型算出的理論預測數值與實際數值進行對比，以數值上的顯著差異直觀地表現了SARS對經濟（旅游）的影響，并對接下來的幾個月進行了較為合理的預測。本文的最后，通過本次建模過程中的切身體會，以一篇短文評述去說明建立如SARS預測模型之類的傳染病傳染病預測模型的重要意義。關鍵詞：微分方程龍格—庫塔算法SARS雙線性

3、函數模型差分方程數學模型1一問題的重述SARS（SevereAcuteRespiratySyndrome，嚴重急性呼吸道綜合癥俗稱：非典型是肺炎）21世紀第一個在世界范圍內傳播的傳染病傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經驗和教訓，認識到定量地研究傳染病傳染病的傳播規(guī)律、為預測和控制傳染病傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。請你們對SARS的傳播建立數學模型，具體要求如下：（1）對附件1

4、所提供的一個早期的模型，評價其合理性和實用性。（2）建立你們自己的模型，說明為什么優(yōu)于附件1中的模型；特別要說明怎樣才能建立一個真正能夠預測以及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后5天采取嚴格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計。附件2提供的數據供參考。（3）收集SARS對經濟某個方面影響的數據，建立相應的數學模型并進行預測。附件3提供的數據供參考。（4）給

5、當地報刊寫一篇通俗短文，說明建立傳染病傳染病數學模型的重要性。（二）對附件1所提供的模型的評價該模型的合理性首先體現在模型假設上：“假定初始時刻的病例數為N0，平均每病（K，人每天可傳染K個人一般為小數）平均每個病人可以直接感染他人的時間為L天?！逼湟唬话銇碚f每病人每天可傳染的人數與當時的健康人數有關1，但由于北京的人數基數較大，SARS病人數相對較少并且SARA持續(xù)時間不是很長，所以這樣假設也是可以的。其二，每個病人可以直接感染他人

6、的時間是有限的，該模型考慮到了這一點，也是很合理的。該模型的合理性還在于用數理統(tǒng)計的方法估計相關參數。該模型的實用性是較好地模擬與預測了北京的SARA數據與發(fā)展。在傳染病傳染病發(fā)病初期對疫情的預測結果還是較為理想的，這主要得益于發(fā)病初期，由于病情來得突然，有關部門沒有來得及采取措施加以控制，使病情得以蔓延迅速，而且發(fā)病初期在治療方法上不是特別有效，治愈所需的時間長，所以使用NtN01kt作為模型進行估計以及參數的假設均較為合理，基本上是

7、可行的。但是到了疫情發(fā)展中后期，由于政府部門采取強硬措施加強防治工作以及人民群眾的防范意識與警覺程度上的普遍提高，加之治療措施的改進，使得每天被傳染的人數下降，并且治愈的人數在不斷增加，治愈時間也在不斷縮短，每天的病人數應在上一天的基礎上減去治愈和死亡的人數，““并且由于采取強硬措施L”的取值會大大的減小，K”取值也會是個變量，而不是常數。大多數疑是病人往往在早期就會被隔離，所以，基本2上很少能轉化成自由非典病人而去接觸并傳染別人。如果

8、此時還是選取NtN01kt這樣的單調遞增函數作為預測模型，就會有較大的誤差。該模型的另一個不足是沒有考慮SARS的潛伏期，也沒有對人群進行合理的分類（如易感染人群、病人、治愈人群例SARS病人出現在3月1日，但只有4月19日以后的數據，所以我們只能進行模型建立和分析，而不能求解模型。這也是建立真正有效的能預測的模型的困難之一。困難之二是這個微分方程組的求解極其困難。困難之三是我們不知道政府在何時干預及力度如何。2、控后模型的建立：將人群

9、分為易感染人群、已受感染者、移出者、疑似病人和未被隔離的帶菌者五類。設控制開始時間為4月21日。記S：表示易感染人群即健康者在人群中的比例。I：已受感染者即病人在人群中的比例。M：未被隔離的帶菌者。X：疑似病人。R：移出者包括“出院者”和“死亡者”在人群中的比例。a:每個病人每天有效接觸并使之感染的平均人數（常數）。b:移出率，即SARS患者的每日死亡率和每日治愈率之和。d:每個未被隔離帶菌者被隔離前平均每天感染有效人數。x1:疑似者中

10、每日被排除的人數占疑似人數的比例。x2：疑似者中每日確診的人數占疑似人數的比例。j：未被隔離的帶菌者轉化為病人的日轉化率。k：被未被隔離的帶菌者有效傳染的人中可以控制的比例。則有：dSdtx1XtdMtSt8dIjMtbItx2Xt9dtdRbIt10dtdXx1Xtx2XtdkMtSt11dtdMd1kMtStjMt12dtSt＋It＋Rt＋Xt＋Mt＝113S0I0R0X0M0為初始值參數的確定：我們以材料提供的北京市疫情統(tǒng)計數據來

11、說明參數的分析方法。（見附件三）以下全部圖的坐標0均表示4月19日。（1）x1：x1（每天新增的疑似排除人數）（當天疑似病人累計人數—當天移出累計人數）首先我們先直觀的觀察一下X1的變化趨勢。根據材料提供的數據，用MATLAB來出5x1，并畫圖，如圖1所示：圖1接著用曲線擬合圖1，如圖2所示：圖2從上圖可看出，圖2大概有兩個峰值。第一個高峰可能是疑似者中非感染者較高；第二個峰值則是因大部分真正帶病的疑似者已轉化為確診后，未帶菌者相對比例

12、增大造成的。由此4階擬合得出的曲線誤差很大，為此，我們去掉幾個偏差太大的點后，易看出，x1集中分布在0到0.05之間。從圖中，可以發(fā)現，最集中的數據為0.035，這樣我們就以0.035為x1的估計值。（2）x2：x2（每天新增的疑似轉化為確診的人數）（當天疑似累計人數—當天累計移出者）首先觀察x2的變化趨勢，如圖3所示：6圖3用5階曲線擬合，如圖4所示：圖4從圖4可見，x2在疫情得到重視后一直下降。由圖還可以看出x2的值主要分布在0.0

13、005和0.015之間。我們根據SARS具有潛伏期的情況，估計x2分為兩個階段值：0.0223和0.006。從對x1與x2的數據處理來看，我們可以將控制后期的這段時期分為兩個階段：過渡期和平穩(wěn)期；這兩個階段的產生是與非典自身的特性分不開的。由于非典具有潛伏期，所以在控制初期，由于前一段時間對非典的控制力度不夠，造成較多的人處于SARS潛伏期，這一部分人最終將轉化為SARS病人；且因為他們?yōu)槲幢桓綦x帶菌者，在進醫(yī)院前會傳染較多的人；加之各

14、項措施從頒布到實行總會有一段反應時間，所以上述原因直接導致了過渡期的形成。（3）b：b（每天新增的出院者和死亡者的人數）（當天病人累計人數—當天累計移出者人數）首先觀察b的變化趨勢。如圖5所示：7圖5用3階曲線擬合，如圖6所示：圖6由圖還可以看出B的值主要分布在0.005和0.09之間。也可以分為三個階段值：b0.0085，0.036和0.085。（4）j：從材料提供的數據可以估計出其值在0.12到0.25之間?，F在我們令j0.23。（

15、5）k：根據各地的人們的意識和習慣等因素反映出來，比如在控制期對人口流動的控制嚴格程度，減少聚會等措施。由此我們估計k在0.7到0.9之間。（七）模型的解法與求解：經過嘗試，我們可以知道無法從建立的微分方程直接求出S，I，R，X，M的函數表達式。我們嘗試編寫龍格—庫塔微分求解算法求它們的數值解。龍格—庫塔算法（求解微分方程組）：K1ftZnK2ftZnh2K1K3ftZnh2K2K4ftZnhK3Zn1Znh2K12K22K3K4步長h