高一數(shù)學(xué)必修5數(shù)列經(jīng)典例題(裂項(xiàng)相消法)

1、2（2014?成都模擬）等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a13a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=log3a1log3a2…log3an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a32=9a2a6有a32=9a42，∴q2=由條件可知各項(xiàng)均為正數(shù)，故q=由2a13a2=1有2a13a1q=1，∴a1=故數(shù)列an的通項(xiàng)式為an=（Ⅱ）bn=…=﹣（12…n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）則…=﹣2[

2、（1﹣）（﹣）…（﹣）]=﹣，∴數(shù)列的前n項(xiàng)和為﹣7（2013?江西）正項(xiàng)數(shù)列an滿足﹣（2n﹣1）an﹣2n=0（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；（2）令bn=，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn解：（1）由正項(xiàng)數(shù)列an滿足：﹣（2n﹣1）an﹣2n=0，可有（an﹣2n）（an1）=0∴an=2n（2）∵an=2n，bn=，∴bn===，Tn===數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn為6（2013?山東）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2，a2n

3、=2an1（Ⅰ）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列bn滿足=1﹣，n∈N，求bn的前n項(xiàng)和Tn解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由S4=4S2，a2n=2an1有：，解有a1=1，d=2∴an=2n﹣1，n∈N（Ⅱ）由已知…=1﹣，n∈N，有：當(dāng)n=1時(shí)，=，當(dāng)n≥2時(shí)，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1時(shí)符合∴=，n∈N由已知有解有a1=3，d=﹣1故an=3（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；（2）由（1）的解答有，bn=n?

4、qn﹣1，于是Sn=1?q02?q13?q2…n?qn﹣1若q≠1，將上式兩邊同乘以q，有qSn=1?q12?q23?q3…n?qn上面兩式相減，有（q﹣1）Sn=nqn﹣（1qq2…qn﹣1）=nqn﹣于是Sn=若q=1，則Sn=123…n=∴，Sn=4（2010?四川）已知數(shù)列an滿足a1=0，a2=2，且對(duì)任意m、n∈N都有a2m﹣1a2n﹣1=2amn﹣12（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）設(shè)bn=a2n1﹣a2n﹣1（n∈

5、N），證明：bn是等差數(shù)列；（3）設(shè)cn=（an1﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N），求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn解：（1）由題意，令m=2，n=1，可有a3=2a2﹣a12=6再令m=3，n=1，可有a5=2a3﹣a18=20（2）當(dāng)n∈N時(shí)，由已知（以n2代替m）可有a2n3a2n﹣1=2a2n18于是[a2（n1）1﹣a2（n1）﹣1]﹣（a2n1﹣a2n﹣1）=8即bn1﹣bn=8∴bn是公差為8的等差數(shù)列（3）由（1）（2）解答可

6、知bn是首項(xiàng)為b1=a3﹣a1=6，公差為8的等差數(shù)列則bn=8n﹣2，即a2n1﹣a2n﹣1=8n﹣2另由已知（令m=1）可有an=﹣（n﹣1）2∴an1﹣an=﹣2n1=﹣2n1=2n于是cn=2nqn﹣1當(dāng)q=1時(shí)，Sn=2462n=n（n1）當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=2?q04?q16?q2…2n?qn﹣1兩邊同乘以q，可有qSn=2?q14?q26?q3…2n?qn上述兩式相減，有（1﹣q）Sn=2（1qq2…qn﹣1）﹣2nqn=2