平面的基本性質(zhì)共點共線共面

1、平面的基本性質(zhì)—共點共線共面,,公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi),公理2 如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線。,公理3 經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面,推論1  經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面,推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面,推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個

2、平面,知識回顧,(2)公理2：,,“共點”、“共線”、 “共面”問題,(3)公理3, 推論1、2、3:,２、反證法,１、理論依據(jù)：,(1)公理1：,判定兩平面相交,證點、線共面的依據(jù)，,確定平面,也是作輔助面的依據(jù),（“點共線”，“線共點”）,判斷或證明直線是否在平面內(nèi),確定兩個平面的交線，,點共面、線共面、三點共線、三線共點問題的一般方法．,1．證明若干點或直線共面通常有兩種思路 （1）先由部分元素確定一個平面，再證明其余元素

3、在這平面內(nèi)． （2）先由部分元素確定若干平面，再證明這些平面重合。2．證明三點共線，通常先確定經(jīng)過兩點的直線是某兩個平面的交線，再證明第三點是這兩個平面的公共點，即該點分別在這兩個平面內(nèi)．3．證明三線共點通常先證其中的兩條直線相交于一點，然后再證第三條直線經(jīng)過這一點。,已知：如圖1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p．求證：p∈a．證明：∵b∩c＝p， ∴p∈b．

4、∵β∩γ＝b， ∴p∈β． 同理，p∈α． 又∵α∩β=a， ∴p∈a．,例、兩個平面兩兩相交，有三條交線，若其中兩條相交于一點，證明第三條交線也過這一點．,證法：先證兩條交線交于一點，再證第三條直線也過改點,例2、如圖：在四面體ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點，G,H分別在CD,AD上,且DG:DC=DH:DA=1:m(m>2)求證：直線EH與F

5、G,BD相交于一點,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,A,Q,R,C,P,證明：,同理Q、R也為公共點,所以P、Q、R共線,要證明各點共線,只要證明它們是兩個平面的公共點,例2、已知△ABC在平面α外，它的的三條邊所在直線分別交平面α于P、Q、R求證：P、Q、R共線,3.已知:如圖,D,E分別是△ABC的邊AC,BC上的點,平面 經(jīng)過D,E 兩點(1)求直線AB 與平面 的交點 P (2)求證:D,E,

6、P三點共線.,P,例1、已知四條直線兩兩相交，且不共點，求證這四條直線在同一平面內(nèi),已知:直線a、b、c、d、兩兩相交,且不共點,求證:a 、 b 、 c 、 d在同一平面內(nèi),,分析：四條直線兩兩相交且不共點，可能有兩種： 一是有三條直線共點； 二是沒有三條直線共點，故證明要分兩種情況．,（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、c相交于點O．求證：a、b、c、d共面．

7、證明：∵d∩a＝P，∴過d、a確定一個平面α（推論2）．同理過d、b和d、c各確定一個平面β、γ．∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．∴平面α、β、γ都經(jīng)過直線d和d外一點O．∴α、β、γ重合．∴a、b、c、d共面．注：本題的方法是“同一法”．,（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且無三線共點．求證：a、b、c、d共面證明：∵d∩a＝P，

8、 ∴d和a確定一個平面α（推論2）． ∵a∩b＝M，d∩b＝Q， ∴M∈α，Q∈α． ∴a、b、c、d四線共面．,已知：直線a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C求證：a,b,c,l共面,,,,,a,A,證明：,又∵a∩l=A,b∩l=B,,∵a∥b,∴a,b,c,l共面,b,c,B,C,l,例1:,已知:A?l, B?l , C?l, D?l,求證:直線AD,BD,

9、CD在同一平面內(nèi).,證明:,∵D?l,,∴ 點D與直線l可以確定平面? (推論1),∵ A?l,∴ A? ?,又D ? ?,∴AD?平面? (公理1),同理: BD?平面? , CD?平面?,∴直線AD,BD,CD在同一平面?內(nèi),共面問題： 例題4：已知三條平行線a,b,c都與直線d相交，求證：四條直線共面。,2.已知:空間四點A、B、C、D不在同一個平面內(nèi),求證：直線AB和CD既不相交也不平行.,反證法,,,,,

10、,A,B,C,D,１、要證“點共面” 、“線共面”可先由部分點、直線確定一平面，在證其余點、直線也在此平面內(nèi)，,小結(jié),２、反證法的應(yīng)用的意識,即納入法,1．空間四點A、B、C、D共面但不共線，則下列結(jié)論成立的是（ ） A．四點中必有三點共線． B．四點中有三點不共線． C．AB、BC、CD、DA四條直線中總有兩條平行． D．直線AB與CD必相交．,課堂練習(xí),2．下列命題中，①有三個公共

11、點的兩個平面重合；②梯形的四個頂點在同一平面內(nèi)；③三條互相平行的直線必共面；④兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．其中正確命題個數(shù)是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3,3．空間五個點，沒有三點共線，但有四點共面，這樣的五個點可以確定平面數(shù)最多為（ ）A．3 B．5 C．6 D．7,4．直線l1//l2，在l1上取三點，在l2上取

12、兩點，由這五個點能確_____個平面．,填空題:,看看答案吧,看看答案吧,3,6,3或4,4，6或7 ，8,看看答案吧,3條直線相交于一點時：,三條直線相交于一點，用其中的兩條確定平面，最多可以確定3個。,（1）、3條直線共面時,（2）、每2條直線確定一平面時,,4條直線相交于一點時：,三條直線相交于一點，用其中的兩條確定平面，最多可以確定6個。,,（1）、4條直線全共面時,（2）、有3條直線共面時,（c）、每2條直線都確定一平面時,2