四點(diǎn)共圓基本性質(zhì)及證明

1、黃忠明第1頁(yè)共7頁(yè)四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱為“四點(diǎn)共圓”。四點(diǎn)共圓有三個(gè)性質(zhì)：（1）共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等；（2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。1定理判定定理方法方法1：把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這

2、四點(diǎn)共圓。（可以說(shuō)成：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那么這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓）方法方法2：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓。（可以說(shuō)成：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角，那么這四點(diǎn)共圓）托勒密定理若ABCD四點(diǎn)共圓（ABCD按順序都在同一個(gè)圓上），那么ABDCBCAD=AC??BD。?黃忠明第3頁(yè)共7頁(yè)若點(diǎn)C在圓外，設(shè)BC交圓

3、O于C’，連結(jié)DC’，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A∠DC’B=180，∵∠A∠C=180∴∠DC’B=∠C這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內(nèi)?！郈在圓O上，也即A，B，C，D四點(diǎn)共圓。2證明方法方法1從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓周上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓方法2把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對(duì)的圓周

4、角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓。幾何描述：四邊形ABCD中，∠BAC=∠BDC，則ABCD四點(diǎn)共圓。證明：過(guò)ABC作一個(gè)圓，明顯D一定在圓上。若不在圓上，可設(shè)射線BD與圓的交點(diǎn)為D，那么∠BDC=∠BAC=∠BDC，與外角定理矛盾。方法3把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓。證法見(jiàn)上方法4把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積