[學習]概論與統(tǒng)計課件第三章多維隨機變量及分布

1、第三章多維隨機變量及其分布,從本講起，我們開始第三章的學習.,一維隨機變量及其分布,,多維隨機變量及其分布,由于從二維推廣到多維一般無實質性的困難，我們重點討論二維隨機變量 .,它是第二章內(nèi)容的推廣.,例1 在打靶時,命中點的位置是由一對隨機變量 (平面直角坐標系的兩個坐標)（X，Y）來確定.,例2 運行的人造衛(wèi)星在空中的位置是由三個隨機變量 (三個坐標)（X，Y，Z）來確定.,到目前為止，我們只討論了一維隨機變量及其分布，但有

2、些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述。,為研究這類隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，本章引入n維隨機變量的概念。,定義1.1：設E為隨機試驗， X1,X2,…,Xn 是E的n個隨機變量，則稱向量(X1,X2,…,Xn)為E的n維隨機變量，Xi稱為第i（ i=1,2,…,n ）個分量。,特別地，n=1時的一維隨機變量就是第二章中的隨機變量。當n=2時，稱為二維隨機變量，記為(X,Y)。,以下重點討論二維隨機變量.,請

3、注意與一維情形的對照 .,第一節(jié) 二維隨機變量,二維隨機變量及其分布函數(shù) 二維離散型隨機變量的聯(lián)合概率分布及其邊緣概率分布 二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度及其邊緣密度函數(shù),第一節(jié) 二維隨機變量,如果對于任意實數(shù),二元 函數(shù),稱為二維隨機變量 的分布函數(shù),,定義1.2,1.1 二維隨機變量的分布函數(shù),將二維隨機變量 看成是平面上隨機點的坐標,,那么,分布函數(shù) 在

4、點 處的函數(shù)值就是隨機點 落在下面左圖所示的,以點 為頂點而位于該點左下方的無窮矩形域內(nèi)的概率.,分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解釋,,隨機點 落在矩形域,內(nèi)的概率為,,,,,,(1) 對任意的x 和y 都有：,0 ? F(x , y) ? 1,且對任意固定的 y 有：,對任意固定的 x 有：,(2) F(x ,y)分別是變量 x 或 y 的不減函數(shù)。即：,對任意固

5、定的y，當x2 >x1時，F(xiàn)(x2 , y)? F(x1 , y),對任意固定的 x，當 y2 > y1時，F(xiàn)(x , y2) ? F(x , y1),(3) F(x , y)分別關于 x 和 y 右連續(xù)。,(4) 當 x1 < x2 ， y1 < y2 時，有,F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1)≥0,定義：二維隨機變量 (X,Y ) 中，其分量X，Y是

6、一維隨機變量，他們各自的分布函數(shù)分別記為FX(x)和FY( y) ，稱FX(x)和FY( y)分別為二維隨機變量(X ,Y )關于X （或Y）的邊緣分布函數(shù)。,結論：設(X , Y ) 的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x , y)，則有,邊緣分布函數(shù),邊緣分布函數(shù)可由聯(lián)合分布函數(shù)確定。,邊緣分布從某種意義看，就是一維隨機變量的分布，它具有一維分布的性質。只不過邊緣分布在二維空間考慮。,1.2 二維離散型隨機變量,1 二維離散型隨機

7、變量的聯(lián)合概率分布,或隨機變量X和Y 的聯(lián)合分布律.,,k=1,2, …,X 的分布律,k=1,2, …,定義1.3,的值是有限對或可列無限多對,,設二維離散型隨機變量,可能取的值是,記,如果二維隨機變量,全部可能取到的不相同,稱之為二維離散型隨機變量 的分布律,,也可用表格來表示隨機變量X和Y 的聯(lián)合分布律.,二維離散型隨機變量 的分布律具有性質,例 設（X , Y）的分布律為：,求a.,P

8、61例1　將兩封信隨機地往四個郵筒內(nèi)投放，每封信被投進這四個郵筒的可能性相同。用X， Y 分別表示投入第一個和第二個郵筒的信的數(shù)目，試求 (X ,Y) 的聯(lián)合概率分布 .,解（1） X 可取值 0 , 1 , 2 ; Y 可取值 0，1 , 2( X, Y ) 可取值 (0,0),(0,1) , (0,2) ,(1,0), (1,1) , (1,2),(2,0),(2,1),(2,2),（ X , Y）的聯(lián)合概率分布表：,產(chǎn)品中任取

9、4件產(chǎn)品, 求其中一等品、二等品件數(shù)的二維概率分布。,解,設 X 及Y分別是取出的 4 件產(chǎn)品中一等品及二等品的件數(shù),,則有,由此得(X,Y)的二維概率,分布如下：,其中:,i = 0,1,2,3;,j = 0,1,2,3,4;,2?i+j?4.,補例 已知10件產(chǎn)品中有3件一等品, 5件二等品, 2件三等品。從這些,0,0,0,0,0,0,0,0,0,解,設二維隨機變量(X , Y )的聯(lián)合分布律為

10、 P (X = x i ，Y= y j ) = p i j (i , j = 1, 2, ? ),2 二維離散型隨機變量的邊緣概率分布,則,1,稱為二維隨機變量(X , Y )關于X , Y的邊緣概率分布,P67Ex3　把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù) ，而 Y 為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值 , (1)求 (X ,Y) 的分布律 .(2)求(X ,Y)分別關于 X 和Y的

11、邊緣概率分布。,解（1） X 可取值 0 , 1 , 2 , 3; Y 可取值 1 , 3( X, Y ) 可取值 (0,1),(0,3) , (1,1) ,(1,3), (2,1) , (2,3),(3,1),(3,3),P{X=0, Y=3},P{X=1, Y=1},P{X=2, Y=1},P{X=3, Y=0},=3/8,=3/8,其他情況的概率皆為0.,（X , Y）的聯(lián)合概率分布,解（2） X 可取值 0 , 1 ,

12、 2 , 3,P{X=0}=,P{X=1}=,P{X=2}=,P{X=3}=,P{Y=1}=,P{Y=3}=,=1/8,,P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3},=3/8,,P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3},=3/8,,P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3},P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3},=1/8.,=3/8+3/8=6/8,,=1/8+1/8=2/8.,,P63例2 設盒中裝有某種產(chǎn)品

13、8個，其中6個正品2個次品，現(xiàn)從中隨機抽取產(chǎn)品兩次，每次取一件，記X,Y分別表示第一次與第二次取出的正品個數(shù)，分別對有放回與不放回抽樣兩種情況求（ X , Y）的分布律和邊緣分布律。,解,有放回情況:,X , Y的邊緣分布,解,無放回情況:,X , Y的邊緣分布,可見，兩種情況下，（X , Y）的邊緣分布律完全相同，但（X , Y）的分布律卻不相同。,說明：聯(lián)合分布唯一確定邊緣分布，邊緣分布不能唯一地 確定聯(lián)合分布。,1.3 二維

14、連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度及其邊緣密度函數(shù),1 聯(lián)合概率密度,X的概率密度函數(shù),定義1.5,,（X,Y）的概率密度的性質,在 f (x,y)的連續(xù)點 ,,說明：給出聯(lián)合密度 f (x, y) 后，事件 {(X ,Y) ? G}的概率都可用二重積分表示，然后化為累次積分計算,當 G 為長方形時，,將“<”改為“?”上式仍然成立。,例1 設二維隨機向量(X ,Y)具有概率密度：,求： 常數(shù) c,解,均勻分布,設G是

15、平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二維隨機變量（ X,Y）具有概率密度,則稱（X,Y）在G上服從均勻分布.,向平面上有界區(qū)域G上任投一質點，若質點落在G內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無關. 則質點的坐標 (X,Y)在G上服從均勻分布.,例2 設(X,Y)的概率密度是,(1) 求分布函數(shù),(2) 求概率 .,,,積分區(qū)域,區(qū)域,解 (1),,,當

16、 時,,故,當 時,,(2),,例3 設二維隨機向量(X ,Y)具有概率密度：,求：(1) 常數(shù) c ; (2) 聯(lián)合分布函數(shù) F(x , y) ; (3) (X ,Y)落入右上圖所示三角形區(qū)域 G 內(nèi)的概率。,解,c = 9,(2),當 0< x < +? , 0< y < +? 時,當 x , y 不都大于0 時

17、,,解：,(3),1- x,0,0,1,設二維連續(xù)型隨機變量(X ,Y)聯(lián)合密度為 f (x , y) ，則其邊緣分布函數(shù)為,若記,則顯然 fX (x) ? 0，并且對任意實數(shù) x，都有f X (x) 是 X的密度函數(shù)，稱 fX (x) 是 (X ,Y)關于X 的邊緣密度函數(shù)。,2 邊緣密度函數(shù),例4 設(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值； （2）兩個邊緣密度。,= 5c/24 ,,c =24/5.,解 (1

18、),故,,,例4 設 (X,Y) 的概率密度是,解,求 (1) c 的值; (2) 兩個邊緣密度 .,(2),,當 時,當 時,,暫時固定,注意取值范圍,綜上 ,,當 時,,例 4 設(X,Y)的概率密度是,解 (2),求 (1) c的值; (2) 兩個邊緣密度 .,,暫時固定,綜上 ,,注意取值范圍,小結：

19、 在求連續(xù)型 r.v 的邊緣密度時，往往要求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分. 當聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時候，在計算積分時應特別注意積分限 .,解：邊緣密度函數(shù),當x ? 0時,當x >0時,解：,關于 X 的邊緣密度函數(shù)為,同理，關于 Y 的邊緣密度函數(shù)為,當? x ? >R時,當? x ? ? R時,二維正態(tài)分布（P73-74),定義3.2 若二維連續(xù)型隨機向量 (X,Y) 的聯(lián)合密度為,其中? 1 , ? 2 ,

20、?1>0, ?2>0 ,|? |<1均為常數(shù)，則稱 (X , Y) 服從參數(shù)為 ? 1 , ? 2 ,?1 , ?2 , ? 的二維正態(tài)分布，記作 (X , Y) ~ N (? 1 , ? 2 , ?12 , ?22 , ?) 。,可求出邊緣密度函數(shù)為：,表明，二維正態(tài)分布的邊緣分布是一維正態(tài)分布，與ρ無關。,X ~ N (? 1 , ?12 ),Y ~ N ( ? 2 ,?22 ),由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布

21、.,不同的二維正態(tài)分布,,但它們的邊緣分布卻都是一樣的.,此例表明,解：,關于 X 的邊緣密度函數(shù)為,第二節(jié) 條件分布,條件分布的概念離散型隨機變量的條件分布連續(xù)型隨機變量的條件分布,在第一章中，我們介紹了隨機事件的條件概率的概念 .,在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率,,推廣到隨機變量的條件分布,設有兩個r.v X,Y ， 在給定Y取某個或某些值的條件下，求X的概率分布.,這個分布就是條件分布.,2.2 離散

22、型隨機變量的條件概率分布,設 (X , Y ) 的聯(lián)合分布律為：P((X = x i , Y = yj ) = p i j (i , j = 1, 2, ? ),邊緣分布：,現(xiàn)考慮在事件 (Y = y j ) 已發(fā)生的條件下，事件 (X = x i ) 的條件概率 P ( X = x i |Y= y j )。,定義2.1：,設 (X , Y ) 是二維離散型隨機向量，對于固定的 j ,,若 P (Y= y j ) > 0，則,

23、稱為在Y=y j 條件下隨機變量X的條件概率分布.,同樣，對于固定的 i ，若 P (X = x i ) > 0，則,稱為在X=x i 條件下隨機變量Y的條件概率分布。,條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質. 正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質.,例如：,i=1,2, …,在 X =2的條件下,Y的條件分布為：,=1/3,例1（ X , Y）的聯(lián)合概率分布,P(X=2)=1/6+1/6+1/6=1/2,在

24、Y =1時 , X 的條件分布,解：,=1/3,=1/3,求：在X =2時 , Y 的條件分布,在Y =1的條件下, X的條件分布為,2.3 連續(xù)型隨機變量的條件分布,設(X,Y)是二維連續(xù)型r.v，由于對任意x, y, P{X=x}=0, P{Y=y}=0 ，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義.,為在Y=y 條件下，隨機變量X 的條件分布函數(shù)，記為FX|Y(x|y)。,

25、定義2.2 設二維連續(xù)型隨機變量(X ,Y)聯(lián)合密度為 f (x , y) ，邊緣密度函數(shù)為fX (x) , fY (y) ，則稱,稱為在Y=y 條件下，隨機變量X 的條件密度函數(shù)。,為在X=x 條件下，隨機變量Y 的條件分布函數(shù)，記為FY| X (y|x)。,稱為在X=x 條件下，隨機變量Y 的條件密度函數(shù)。,,解：,對于滿足? y ? 0，則：,,0 其他,對于滿足? x? 0，則：,這

26、里是y的取值范圍,X已知的條件下Y 的條件密度,X作為已知變量,特別地，當Y=0時，X的條件密度函數(shù)為,,0 其他,可見，在Y=0的條件下，X服從區(qū)間[-R,R]上的均勻分布。,當X=0時，Y的條件密度函數(shù)為,,0 其他,可見，在X=0的條件下，Y服從區(qū)間[-R,R]上的均勻分布。,第三節(jié) 隨機變量的獨立性,3.1 兩個隨機變量的獨立性,定義3.1：二維隨機變量 (X , Y )

27、 中，聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布 函數(shù)分別為F(x，y)， FX (x)，F(xiàn)Y ( y）。若對任意x,y，都有 F(x，y)=FX (x)FY ( y）即 P(X?x ,Y?y)= P(X?x ) P(Y?y) 則稱隨機變量 X 和 Y 相互獨立。,兩事件 A , B 獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)

28、則稱事件 A , B 獨立 .,它表明，兩個r.v相互獨立時，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積 .,3.2 離散型隨機變量X , Y的獨立性,定理3.1 離散型隨機變量X , Y 獨立的充要條件是對一切 i , j = 1, 2, …都有 pi j = pi .? p.j,即： P(X = x i ,Y= y j )=P (X = x i ) P(Y= y j ) (i , j =

29、1, 2, ? ),注意： X 與Y 相互獨立要求對一切 i , j = 1, 2, …都有上式成立；,只要有一對 (i , j )使得上式不成立，則可斷定X 與Y 不獨立。,P63例2中,有放回情況時(X,Y)的分布律為:,X , Y的邊緣分布,判斷X與Y是否相互獨立？,解,所以X與Y相互獨立。,P63例2中,不放回摸球情況時(X,Y)的分布律為:,X , Y的邊緣分布,判斷X與Y是否相互獨立？,解,所以X與Y不相互獨立。,解,3

30、.3 連續(xù)型隨機變量X , Y的獨立性,定理3.2 設二維連續(xù)型隨機變量(X ,Y)聯(lián)合密度為 f (x , y) ，邊緣密度函數(shù)分別為fX (x) , fY (y) ，則X ,Y相互獨立的充要條件是對一切x, y有f (x , y)= fX (x) fY(y),解：,f (x , y) fX(x) fY(y) ，則X，Y不獨立,f (x , y)= fX (x) fY (y) ，則X ,Y獨立

31、,解：,關于 X 的邊緣密度函數(shù)為,同理，關于 Y 的邊緣密度函數(shù)為,當 x1時,當0< x <1 時,f (x , y) fX(x) fY(y) ，則X，Y不獨立,例：設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布，Y的密度函數(shù)為,,0, 其他,（1）求 X 和Y的聯(lián)合密度函數(shù)；,（2）關于a的二次方程a2+2Xa+Y=0有實根的概率。,解：（1）X服從區(qū)間[0,1]上的

32、均勻分布，X的密度函數(shù)為,,0, 其他,因為X和Y相互獨立， X 和Y的聯(lián)合密度函數(shù)為,f (x , y)= fX (x) fY (y)=,,0, 其他,例：設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布，Y的密度函數(shù)為,,0, 其他,（1）求 X 和Y的聯(lián)合密度函數(shù)；,（2）關于a的二次方程a2+2Xa+Y=0有實根的概率。,解（2）所求概率為,二維正態(tài)隨機變量

33、的獨立性,前面已求出邊緣密度函數(shù)為：,-∞<x<∞,-∞<y<∞,反之，,若隨機變量 X 與 Y 獨立，且都服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為,則對任意實數(shù) x , y ，(X ,Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)：,(X,Y)~N(? 1, ? 2, ?12, ?22 , 0),此例說明：若X? N(? 1,?12)，Y? N(? 2,?22)，且X 與Y 獨立，則(X,Y)? N(? 1,? 2,?12,?22 ,0)；若(X,

34、Y)? N(? 1,? 2,?12,?22,0)，則X 與Y 獨立。所以，二維正態(tài)隨機變量 X 與Y 獨立的充要條件是 ? = 0-----P74例7,結論 ：,當隨機變量 X 與 Y 獨立，邊緣分布唯一確定聯(lián)合分布.,定理2.3,當隨機變量 X 與 Y 獨立，則g(X )與h(Y ) 獨立.,第五節(jié) 兩個隨機變量的函數(shù)的分布,的分布 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 其他形式二維隨機變量函數(shù)的

35、分布,二維隨機變量函數(shù)的分布,若存在二元函數(shù) z = g(x, y)，使得對二維隨機變量 (X ,Y)的每一取值 (x, y)，隨機變量Z 的相應取值為 z = g(x, y)，則稱隨機變量Z是隨機變量 (X ,Y ) 的函數(shù)，記作Z = g(X ,Y )。,由 (X ,Y ) 的分布求出 Z=g(X ,Y )的分布呢？,例： Z=X+Y,例如， 對一塊長方形的土地進行測量，用隨機變量 X 與 Y 分別表示其長與寬的測量值。已知

36、 (X, Y) 的聯(lián)合分布如表 1，求土地的面積 Z 的概率函數(shù)。,因為 Z=X?Y ，所以 Z 的可能取值是 20, 20.4, 21, 21.42。,解：,于是，Z 的概率函數(shù)如表2 所示。,P(Z=20)=P(X=5, Y=4)=0.2,P(Z=20.4)=P(X=5.1, Y=4)=0.3,P(Z=21)=P(X=5, Y=4.2)=0.4,P(Z=21.42)=P(X=5.1,Y=4.2)=0.1,4.

37、1 Z=X+Y的分布(和的分布),1 二維離散型隨機變量函數(shù)的分布,例1 已知 (X ,Y ) 的聯(lián)合分布如表 求Z= X + Y 的概率函數(shù)。,因為 Z=X + Y ，所以Z 的可能取值是 1,2,3,4,5,解：,于是， Z 的概率函數(shù)如表所示。,P(Z=1)=P(X=0, Y=1)=0.1,P(Z=2) =P(X=0, Y=2)+P(X=1, Y=1)=0.2+0.05=0.25,P(Z=3)=P(X

38、=0, Y=3)+P(X=1, Y=2)+P(X=2, Y=1) =0.15+0.1+0.02=0.27,P(Z=4)=P(X=1, Y=3)+P(X=2, Y=2)=0.2+0.18=0.38,P(Z=5)=P(X=2, Y=3)=0,例 設 的聯(lián)合分布列為,分別求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列,解 由（X，Y）的聯(lián)合分布列可得如下表格,解 得所求的各分布列為,例2 若隨

39、機變量 X 與 Y 相互獨立，它們都取非負整數(shù)值，概率函數(shù)分別為 P ( X = k ) = a k (k = 0, 1, 2, …) P ( Y = k ) = b k (k = 0, 1, 2, …)求 Z = X + Y 的概率函數(shù)。,解：,(r = 0, 1, 2, …),此即求獨立離散型隨

40、機變量和的分布的公式，稱為離散型獨立隨機變量和的卷積公式，亦稱為褶積公式。,=a 0br+ a 1br-1+…+ a r b0,P77例2 設 X~P(? 1) 與 Y~P(? 2)，且 X 與 Y 相互獨立 求 Z=X+Y的概率分布。,由于泊松分布的隨機變量 X 與 Y 可取所有非負整數(shù)，故其和Z=X+Y 也只取所有非負整數(shù)。對任一非負整數(shù) k，有：,解：,這是參數(shù)為 ? 1+? 2 的泊松分布。即 Z=X+Y~P (?

41、 1+? 2)。,結論：兩個相互獨立的服從泊松分布的隨機變量的和仍服從泊松分布，其參數(shù)為這兩個分布的參數(shù)之和。 這個事實，通常被稱作泊松分布具有可加性。,P81 4題 設隨機變量 X 與 Y 相互獨立，X~B(n, p)，Y~B(m, p)，求 Z = X + Y 的分布。,因為 X~B(n , p)，Y~B(m , p)，所以有,解：,所以，Z = X + Y ~ B (n + m , p),特別當X,Y獨立,且 X ~

42、B (1 , p) ,Y ~ B (1 , p)，即服從同一0-1分布。則X+Y ~ B (2 , p)。結論：相互獨立的服從同一0-1分布的隨機變量的和服從 二項分布。,2 二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布,設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 f (x, y)， Z=g(X,Y),求Z的密度函數(shù)f(z)。,方法----分布函數(shù)法,例 設X和Y的聯(lián)合密度為 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,這里

43、積分區(qū)域 D={(x, y): x+y ≤z},解,Z=X+Y的分布函數(shù)是:,它是直線 x+y =z 及其左下方的半平面.,化成累次積分,得,固定z和y,對方括號內(nèi)的積分作變量代換, 令 x=u-y,得,變量代換,交換積分次序,,,,,,,,,由概率密度與分布函數(shù)的關系, 即得Z=X+Y的概率密度為:,由X和Y的對稱性, fZ (z)又可寫成,以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.,特別地，當 X 和 Y 獨立，設 (X,

44、Y) 關于 X , Y 的邊緣密度分別為 fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為:,下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度.,卷積公式,P78例3 若X和Y 是兩個相互獨立的隨機變量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,解 由卷積公式,令,得,可見 Z=X+Y 服從正態(tài)分布 N(0,2).,用類似的方法可以證明:,若X和Y 獨立,,結論又如何呢?,此結論可以推廣到n個獨立隨機變量之和

45、的情形,請自行寫出結論.,若X和Y 獨立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 則Z=X+Y 服從正態(tài)分布 N(0,2).,有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.,更一般地, 可以證明:,4.2 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,設 X，Y 是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x) 和 FY(y),我們來求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函數(shù).,FM(z)=P

46、(M≤z),=P(X≤z,Y≤z),由于 X 和 Y 相互獨立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函數(shù)為:,1. M = max(X,Y) 的分布函數(shù),即有 FM(z)= FX(z)FY(z),,進一步有 fM(z)= fX(z)FY(z)+F X(z) f Y(z),即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)],=1-P(X>z,Y>

47、;z),FN(z)=P(N≤z),=1-P(N>z),2. N = min(X,Y) 的分布函數(shù),,由于 X 和 Y 相互獨立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函數(shù)為:,進一步有 fN(z)= fX(z)[1-FY(z)]+[1-FX(z)] f Y(z),設 X1,…,Xn 是 n 個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數(shù)分別為,我們來求 M=max(X1,…,Xn) 和N=min(X1,…,Xn