[學(xué)習(xí)]概論與統(tǒng)計(jì)課件第二章隨機(jī)變量及分布

1、第二章隨機(jī)變量及其分布,引 言,在第一章里，我們研究了隨機(jī)事件及其概率，通過(guò)隨機(jī)事件的概率計(jì)算初步了解了如何定量描述和研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律的基本方法．然而實(shí)際中由一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)導(dǎo)出的隨機(jī)事件是多種多樣的，因此，想通過(guò)隨機(jī)事件概率的計(jì)算來(lái)達(dá)到了解隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性顯得很不方便． 本章，我們將引進(jìn)概率論中的一個(gè)重要概念—隨機(jī)變量．使隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，以便采用高等數(shù)學(xué)的方法描述、研究隨機(jī)現(xiàn)象． 本章我們將主要介紹:

2、 隨機(jī)變量的概念 離散型隨機(jī)變量及其分布 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,第一節(jié) 隨機(jī)變量的概念,隨機(jī)變量概念的引入引入隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量的分類(lèi),(1)有些隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）.,例如，擲一顆骰子觀(guān)察其朝上面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；,一、隨機(jī)變量概念的引入,每次出現(xiàn)的結(jié)果與一個(gè)數(shù)值對(duì)應(yīng)，分別由1,2,3,4,5,6來(lái)表示；

3、,(2)在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但可以指定一個(gè)數(shù)量來(lái)表示它的各種結(jié)果.也就是說(shuō)，可把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.,例如: 擲硬幣試驗(yàn),考察其正面和反面朝上的情況,可規(guī)定: 用1表示“正面朝上”，用0表示“反面朝上”。,結(jié)論：不管試驗(yàn)結(jié)果是否與數(shù)值有關(guān)，我們都可以通過(guò)引入某個(gè)變量，使試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系,這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值單值函數(shù).定義域?yàn)闃颖究臻gΩ，取值為實(shí)數(shù).,ω.,,,X(ω),,R,這即為所謂的

4、隨機(jī)變量,隨機(jī)變量的定義,定義1.1 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω，對(duì)于任意的ω∈Ω, X= X(ω)是定義在Ω上的單值實(shí)值函數(shù)，則稱(chēng)X= X(ω)為一個(gè)定義在Ω上的隨機(jī) 變量（Random Variable），簡(jiǎn)記為X．通常用大寫(xiě)字母Ｘ,Ｙ,Ｚ或希臘字母 ? ,? 等表示.,（1）X是一個(gè)變量, 它的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而改變，由于事先不能確定，故有隨機(jī)性；,（2）由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，故隨機(jī)變量X取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也

5、有一定的概率.,說(shuō)明：,(3)隨機(jī)變量通常用大寫(xiě)字母X,Y,Z,W,…或希臘字母 ? ,?等表示,而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí),一般采用小寫(xiě)字母 x, y, z, w,…等.,例1 試驗(yàn)E—電話(huà)臺(tái)單位時(shí)間內(nèi)收到的用戶(hù)呼喚次數(shù)。記呼喚次數(shù)為 X(k)=k(k=0,1,2, … )，則 X 是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能取值為0，1，2，…,( X =i)代表相應(yīng)的基本事件（樣本點(diǎn)）。,例2 試驗(yàn)E—某地區(qū)某段時(shí)間內(nèi)的氣溫。則任一時(shí)刻的氣溫值X 是

6、一個(gè)隨機(jī)變量，且其所有可能的取值為[a，b]。（ X=i）即為一基本事件（樣本點(diǎn)）。,例3 試驗(yàn)E—檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，每次出現(xiàn)的結(jié)果雖不和數(shù)值對(duì)應(yīng)，我們可以人為的定義一個(gè)數(shù)值來(lái)代表相應(yīng)的一個(gè)基本事件（樣本點(diǎn)），如“1”代表“合格品”，“0”代表“次品”這樣，可引進(jìn)一個(gè)隨機(jī)變量 X ，它的取值為0，1。,隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件. 引入隨機(jī)變量后，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái).對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)

7、規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.,,事件及事件概率,,隨機(jī)變量及其取值規(guī)律,二、引入隨機(jī)變量的意義,如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話(huà)交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量.,事件A＝{收到不少于1次呼叫},B＝{沒(méi)有收到呼叫},{ X 1},{X= 0},而有 P(A)=P{X≥1},P(B)=P{X=0},再如：E—擲色子，隨機(jī)變量X表示朝上面的點(diǎn)數(shù)。則：P（X?1）=1/6， P

8、（X?2）=2/6，P（X?5.7）=5/6， P（X?0）=0， P（X?6）=1， P（X?13.3）=1， P（X?-4.12）=0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,三、隨機(jī)變量的分類(lèi),按照隨機(jī)變量的取值情況可把其分為兩類(lèi)： 離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量X的全部取值只有有限個(gè)或無(wú)限可列個(gè)。如“取到次品的個(gè)數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等. 非離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量X的全部取值不能一一列出。 其中最

9、重要的是續(xù)型隨機(jī)變量（隨機(jī)變量X的取值連續(xù)地充滿(mǎn)某個(gè)區(qū)間或整個(gè)數(shù)軸），例如，“電視機(jī)的壽命”，實(shí)際中常遇到的“測(cè)量誤差”等.,對(duì)于隨機(jī)變量，我們主要關(guān)心如下兩件事： 1．隨機(jī)變量的取值范圍是什么？ 2．它取每個(gè)值或在某個(gè)范圍內(nèi)取值的概率是多少？ 關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，將在下面幾節(jié)中，按離散型隨機(jī)變量和連續(xù)性隨機(jī)變量分別進(jìn)行研究.,第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,離散型隨機(jī)變量定義離散型隨機(jī)變量的概率分布

10、幾種常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布,定義：若隨機(jī)變量X的所有可能取值是有限多個(gè)或可列無(wú)限多個(gè), 則稱(chēng)X為離散型隨機(jī)變量 .,一、離散型隨機(jī)變量定義,例如：1、設(shè)X表示拋三次硬幣的試驗(yàn)中出現(xiàn)正 面朝上的次數(shù).,X的可能取值為0，1，2，3.,2、設(shè)Y表示120急救電話(huà)臺(tái)一晝夜收到的呼次數(shù),則Y的可能取值為0,1,2,3,……,X和Y都是離散型隨機(jī)變量,若離散型隨機(jī)變量X所有可能的取值為 x 1 , x 2 , … , 對(duì)應(yīng)的概

11、率為 p 1 , p 2 , …。即： P (X= x i ) = p i , i = 1, 2, … (1)則稱(chēng)式 (1) 為隨機(jī)變量 X 的概率分布律，簡(jiǎn)稱(chēng)為概率分布或分布律。,定義2.1,概率分布也可用下面的表格形式（概率分布表）表示：,二. 離散型隨機(jī)變量的概率分布律,離散型隨機(jī)變量的概率分布反映了隨機(jī)變量的所有可能取值及其取每個(gè)可能值的概率，因此，離散型隨機(jī)變量可完全由其分布律來(lái)刻劃．

12、,分布律的性質(zhì)：,(1) pi≥0， i = 1,2,… ； (2),用這兩條性質(zhì) 判斷一個(gè)函數(shù)是否是分布律確定未知參數(shù),概率函數(shù)的應(yīng)用I----確定未知常數(shù),,解: 依據(jù)分布律的性質(zhì),a≥0 ,,從中解得,即,例1,設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：,k =0,1,2, …,,試確定常數(shù)a .,,P37 Ex1 P56 Ex(7),概率函數(shù)的應(yīng)用II----求概率,若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：,P (X= x i ) =

13、p i , i = 1, 2, …,例2 設(shè)X的分布律為,求 P(0<X≤2),P(0<X≤2)=P（X=1）+P（X=2） =1/2+1/6=2/3,解,即分布律確定概率,表明：事件“X滿(mǎn)足某一條件”的概率就是把滿(mǎn)足條件的xi所對(duì)應(yīng)的概率pi相加。,概率函數(shù)的求法：,步驟I.確定隨機(jī)變量及其所有可能取值；,步驟II. 確定隨機(jī)變量所有可能取值的概率，列表。,例

14、1（課本P32）盒中有3件產(chǎn)品，其中有一件次品。每次從盒中任取一件產(chǎn)品，做不放回抽樣，直到取到次品為止。求取產(chǎn)品件數(shù)的概率分布。,解：設(shè)取產(chǎn)品件數(shù)記為X，則X=1，2，3,P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=,X的概率分布為：,例2. 社會(huì)上發(fā)行的一種福利獎(jiǎng)券，每期中獎(jiǎng)率皆為0.001，每券售2元。某人每期購(gòu)買(mǎi)一張獎(jiǎng)券，如果沒(méi)有中獎(jiǎng)下次再繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)1張，直到中獎(jiǎng)為止。求該人購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)券次

15、數(shù)X的概率分布。,解：X的取值1，2，3，4，5，…,設(shè)Ａi = {第 i 次購(gòu)買(mǎi)的1張獎(jiǎng)券中了獎(jiǎng)}，事件{X=k}表示“前 k-1 次未中獎(jiǎng)，第 k 次中獎(jiǎng)”，則,而每次中獎(jiǎng)與否又是相互獨(dú)立的，故出現(xiàn)事件{X=k}的概率可利用事件的獨(dú)立性求得：,課本P37第3題,例3 兩名籃球隊(duì)員輪流投籃，直到某人投中為止。如果第一名隊(duì)員投中的概率為0.4，第二名隊(duì)員投中的概率為0.6，設(shè)兩名隊(duì)員命中與否互不影響，求每名隊(duì)員投籃次數(shù)的概率分布。,

16、解：設(shè)X，Y分別表示第一名隊(duì)員和第二名隊(duì)員的投籃次數(shù)，則X=1，2，3，4，5，…; Y=0，1，2，3，4，5，….,事件{X=k}表示：第一名隊(duì)員前 k-1 次未投中，第 k 次投中，同時(shí)第二名隊(duì)員前 k-1 次未投中；或者第一名隊(duì)員前k次未投中，第二名隊(duì)員前 k-1 次未投中，第 k 次投中.,事件{Y=k}表示：第一名隊(duì)員前 k次未投中，同時(shí)第二名隊(duì)員前 k-1 次未投中,第 k 次投中；或者第一名隊(duì)員前k次未投中，第二名隊(duì)

17、員前 k次未投中，第一名隊(duì)員第 k+1 次投中.則,補(bǔ)例 一批零件中有7個(gè)正品，3個(gè)次品。安裝機(jī)器時(shí)從這批零件中任取一個(gè)，若取到正品，則停止抽??；若取到次品，則放在一邊繼續(xù)抽取，直到取出正品為止。求在取到正品前所取出的次品數(shù)的概率函數(shù)。,解：在取到正品前所取出的次品數(shù)記為X，則X=0，1，2，3,P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=,X的概率分布為：,課本P37第2題,

18、2.2 常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布,1、（0-1）分布：（也稱(chēng)兩點(diǎn)分布）,定義2.2 隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，其分布律為：,或,拋擲硬幣的試驗(yàn)中，設(shè)隨機(jī)變量 X 表示一次試驗(yàn)中正面向上的次數(shù)，則X服從“0 - 1”分布。,例：,任何只有兩種結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象，都可以用0-1分布來(lái)描述。,2. 伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)分布,伯努里試驗(yàn)(P33),試驗(yàn)的獨(dú)立性：,所謂兩個(gè)試驗(yàn)E1和E2 獨(dú)立，是指試驗(yàn)E1 的結(jié)果的發(fā)生和試驗(yàn)E2 的結(jié)果

19、的發(fā)生互不影響。即試驗(yàn)E1 的任一事件和試驗(yàn)E2 的任一事件是互相獨(dú)立的。,獨(dú)立試驗(yàn)序列：,多個(gè)試驗(yàn)E1，E2 ，... En , A1 , A2 , …,An 分別是試驗(yàn)E1，E2 ，... En 的任一事件，若A1 , A2 , …,An是互相獨(dú)立的，則稱(chēng)試驗(yàn)E1，E2 ，... En 獨(dú)立試驗(yàn)序列。,將一個(gè)試驗(yàn) E 重復(fù)進(jìn)行 n 次所得的獨(dú)立試驗(yàn)序列 , 稱(chēng)為一個(gè) n重獨(dú)立試驗(yàn)序列，記為En .,n重獨(dú)立試驗(yàn)：,

20、設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果:,則稱(chēng)這樣的試驗(yàn)E稱(chēng)為伯努利(Bernoulli)試驗(yàn) .,拋硬幣：“出現(xiàn)正面”，“出現(xiàn)反面”,抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”,例如:,“重復(fù)”是指這 n 次試驗(yàn)中P(A)= p 保持不變.,將伯努利試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行n次 ,則稱(chēng)這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn) .,“獨(dú)立”是指各 次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響 .,問(wèn)題：在n重伯努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為P(A)=p，求事件A出現(xiàn)k次的概率

21、 (0?k?n),結(jié)論: 在n重伯努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次的概率為：,(其中q=1-p，0?k?n),證明:,在 n 重伯努里試驗(yàn)中，設(shè)Ａi = {第 i 次試驗(yàn)出現(xiàn)事件Ａ}則指定的某 k 次(比如前 k 次)出現(xiàn)事件Ａ的概率可利用事件的獨(dú)立性求得：,由于在 n 次試驗(yàn)中恰有 k次出現(xiàn)事件Ａ共有　 　種情形，故在 n 次試驗(yàn)中，事件Ａ出現(xiàn) k次的概率為：,例：隨機(jī)地?cái)S一個(gè)骰子，連擲６次，求： （1）恰有一次出現(xiàn)“６點(diǎn)”

22、的概率； （2）至多有兩次出現(xiàn)“６點(diǎn)”的概率；,解：設(shè)Ａ＝“出現(xiàn)６點(diǎn)”，則：P(A)＝1/6 連擲６次骰子，可以看成６重貝努利試驗(yàn)，其中：p = 1/6,（1）恰有一次出現(xiàn)“６點(diǎn)”的概率為：,（2）至多有兩次出現(xiàn)“６點(diǎn)”的概率為：,=0.335+0.402+0.201=0.938,P34 例4,P37-38 4-7,2. 二項(xiàng)分布,定義2.3　　若隨機(jī)變量X的概率分布為：,k = 0, 1, 2, …

23、, n,則稱(chēng)X服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布，記為X ～B(n, p)。其中：0 < p < 1 , p + q = 1 ，,顯然：,當(dāng)n=1時(shí)，上式成為,即為0-1分布，所以0-1分布是二項(xiàng)分布的特例，記為X ～B(1, p)。,在n重貝努里試驗(yàn)中， 設(shè)X表示“事件A出現(xiàn)的次數(shù)”， 則,k = 0, 1, 2, … , n,即X ～B(n, p)。,二項(xiàng)分布描述的是n重伯努利試驗(yàn)中事件 A 出現(xiàn)的次數(shù) X 的分布律

24、.,某人射擊的命中率為0.9，在10次射擊中，求：恰有4次命中的概率； (2) 最多命中8次的概率。（3）至少命中1次的概率。,例,解：設(shè)X表示在10次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)，則X ～B(10,0.9 ),(2)最多命中8次的概率：,（3）至少命中1次的概率為,設(shè)每臺(tái)自動(dòng)機(jī)床在運(yùn)行過(guò)程中需要維修的概率均為0.01，并且各機(jī)床是否需要維修相互獨(dú)立。如果每名維修工人負(fù)責(zé)看管20臺(tái)機(jī)床； (2) 3名維修工人共同看管80臺(tái)機(jī)床，求不能

25、及時(shí)維修的概率。,例,解 (1)設(shè)X表示需維修的機(jī)床數(shù)，則X ～B(20,0.01 ),故不能及時(shí)維修的概率為,（2）需維修的機(jī)床數(shù)X ～B(80,0.01 ),故3名維修工人 共同看管80臺(tái)機(jī)床時(shí)不能及時(shí)維修的概率為,Ex7 電燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率是0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率.,解: 設(shè)X為三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)已壞的燈泡數(shù) .,X ~ B (3, 0.8)，,把觀(guān)察一個(gè)燈

26、泡的使用時(shí)數(shù)看作一次試驗(yàn),“使用到1000小時(shí)已壞”視為事件A .每次試驗(yàn),A 出現(xiàn)的概率為0.8,P{X 1} =P{X=0}+P{X=1},=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,二項(xiàng)分布中 X 共有 n + 1 個(gè)可能的取值 0, 1, … , n，使P (X = k ) 取最大值的 k稱(chēng) 為二項(xiàng)分布的最可能值，記作 k 0。把 P (X= k ) 的最大值 P ( X = k 0 ) 稱(chēng)為二項(xiàng)分布

27、的最大概率。,問(wèn)題：如何求二項(xiàng)分布的最可能值？,答：由于 P (X = k 0 ) 最大，所以有以下不等式：,解不等式可得：　　　　 ( n + 1 ) p - 1 ? k 0 ? ( n + 1 ) p，,二項(xiàng)分布的最可能值與最大概率,由于k0只能取整數(shù)，于是,某工廠(chǎng)每天用水量保持正常的概率為3/4，且每天用水量是 否正常相互獨(dú)立。求：(1) 最近６天內(nèi)用水量正常的天數(shù)分布 (2) 在最近６天內(nèi)至少有５天用水量正常的概率

28、。 （3）最可能正常的天數(shù)。,例：,解：(1) 設(shè)最近６天內(nèi)用水量正常的天數(shù)為X, X ～B(6,3/4 )。其概率分布為,(2) 最近６天內(nèi)至少有５天用水量正常的概率為：P (X ≥ 5 ) = P (X= 5 ) + P ( X = 6 ) = 0.3560 + 0.1780 = 0.5340,（3）最可能正常的天數(shù)：k0=[(n+1)p]=[21/4]=5,設(shè) N個(gè)元素分成兩類(lèi)，有N1個(gè)元素屬于第一類(lèi)，有N2個(gè)元素屬于第二類(lèi)

29、（N1+N2=N)。從中任取n個(gè)，令X表示取出的這n個(gè)元素中第一類(lèi)元素的個(gè)數(shù)，則 X 的概率分布為：,,稱(chēng)X服從超幾何分布。,3 超幾何分布,超幾何分布可用來(lái)描述不放回抽樣的試驗(yàn)。,X 服從超幾何分布，其概率函數(shù)為：,例：,盒中有 6 個(gè)球，其中有 2 個(gè)是彩色球?，F(xiàn)從中任取3個(gè)球求被選到的彩球數(shù) X 的概率分布。,其概率分布表為：,解：,隨機(jī)變量 X 的可能取值為 0, 1, 2。,可以證明，當(dāng) N ? ? 時(shí)，超幾何分布以二

30、項(xiàng)分布為極限，即X 服從超幾何分布，而N很大，n相對(duì)N較小，則X 近似地服從參數(shù)為n，p=N1/N的二項(xiàng)分布。,設(shè) X 表示發(fā)芽的種子數(shù)，則 X 近似服從二項(xiàng)分布 B(20, 0.9),20 粒種子是從一批種子中任取的(不重復(fù)），所以這是 N 很大而n = 20 相對(duì)于 N 很小的超幾何分布問(wèn)題，可用二項(xiàng)分布來(lái)近似計(jì)算。,一批種子的發(fā)芽率為 90%，從中任取 20粒，求播種后至少有 18 粒種子發(fā)芽的概率。,例：,解：,其中 ?

31、 > 0 為常數(shù)，則稱(chēng) X 服從參數(shù)為 ? 的泊松分布，簡(jiǎn)記為X ? P( ? )。,若隨機(jī)變量 X的概率分布為：,4 泊松（Poisson）分布,分布律的驗(yàn)證,⑴ 由于λ>0,,可知對(duì)任意的自然數(shù) k，有,⑵ 又由冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式，可知,所以,是分布律．,服務(wù)臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)X；交換臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)Y;礦井在某段時(shí)間發(fā)生事故的次數(shù);顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；單位體積空氣

32、中含有某種微粒的數(shù)目,泊松分布的應(yīng)用:,體積相對(duì)小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其參數(shù) ? 可以由觀(guān)測(cè)值的平均值求出。,泊松分布的有關(guān)計(jì)算可查附表1。,例：,某電話(huà)交換臺(tái)每分鐘收到的用戶(hù)呼喚次數(shù)X服從參數(shù)?=5的普哇松分布，寫(xiě)出X的概率函數(shù),并求(1)一分鐘內(nèi)呼喚3次的概率；(2)一分鐘內(nèi)呼喚至少3次的概率。,解：,X的概率函數(shù)為,二項(xiàng)分布的泊松逼近,在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，當(dāng)X ~B(n,p)時(shí)，若 n 充分大，事

33、件A 在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率 p 充分小， ? = n p大小適中，則事件 A 在 n 次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù) X可以近似地服從參數(shù)為 ? = n p 的泊松分布：,例：,共有5000人參加某類(lèi)人壽保險(xiǎn)，若一年中每個(gè)受保人死亡的概率為0.001，試求在未來(lái)的一年中至少有兩位受保人死亡的概率。,解 設(shè)X表示“5000參保者中一年內(nèi)死亡的人數(shù)”，則X ～B(5000,0.001)， 所求概率為P (X ≥ 2)，,顯然直接用二項(xiàng)分布計(jì)

34、算是很麻煩的 .,注意到：n=5000較大，p=0.001較小，而np=5大小適當(dāng)，所以，近似地X ～P(5) ，于是,在可列重貝努利試驗(yàn)中，隨機(jī)變量X 表示 “事件A 首次發(fā)生所需的試驗(yàn)次數(shù)”， 則 X的概率分布為： P (X = k ) = (1-p)k - 1 p , k = 1, 2, … 則稱(chēng) X 服從參數(shù)為 p

35、 的幾何分布。,例:,設(shè)某批電子管的合格品率為0.75，不合格品率為0.25，現(xiàn)對(duì)該批電子管進(jìn)行有放回地測(cè)試，設(shè)第X次首次測(cè)到合格品，求X的概率函數(shù) 。,X的可能取值為：1, 2, … 。事件 (X = k ) 表示“第 k 次才測(cè)到合格品”，則：P (X = k ) = 0.25 k - 1 0.75, k = 1, 2, …,解：,5幾何分布,第三節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù),隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的性質(zhì)

36、分布函數(shù)與概率的關(guān)系離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的求法,,定義3.1,? 分布函數(shù)的定義,(1)分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過(guò)它，我們可以用高等數(shù)學(xué)的工具來(lái)研究隨機(jī)變量.,(2)只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.,注意 :,? 分布函數(shù)的性質(zhì),2)  F(x)是不減函數(shù)，即對(duì)x1< x2，有F(x1)≤F(x2)； 這是因?yàn)槭录 X ≤x1}包含于{ X ≤x2},3),4

37、) F(x)是右連續(xù)的，且至多有可列個(gè)間斷點(diǎn)。即：,1) 定義域：  x ，值域：0≤F(x)≤1;,反之，凡具有上述三條性質(zhì)的實(shí)函數(shù)必是某隨機(jī)變量的分布函數(shù).,例1：設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 (?>0), 求常數(shù) a 的值。,? 分布函數(shù)與概率間的關(guān)系,若已知X的分布函數(shù)，能求X落在任一區(qū)間的概率。分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的概率分布情況。

38、,P(X≤ a)= F( a )， P(X > a)= 1-F( a ) P(a< X ≤ b)= P( X ? b) – P( X ? a) = F( b )- F( a ),P(a ≤X≤ b)= P(a< X≤b)+P(X=a)=F( b )- F( a -o)P(a < X< b)= P(a< X≤ b)- P(X=b)=F( b-o )- F( a )P(a≤ X&l

39、t; b)= P(a< X≤ b)+P(X=a)-P(X=b ) =F( b-o )- F( a -0),設(shè)離散型 隨機(jī)變量 X 的分布律是,P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,…,F(x) = P(X x) =,即F(x) 是 X 取 的諸值 xk 的概率之和.,一般地,則其分布函數(shù),? 離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的求法,若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為

40、：,離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯形函數(shù)，它在X的一切有概率的點(diǎn)xk都有一個(gè)跳躍，其跳躍度為 P(X=xk),=,分布函數(shù)具體求法：,當(dāng) x<0 時(shí)，{ X x } = ， 故 F(x) =0,例1,設(shè) 隨機(jī)變量 X 的分布律為,當(dāng) 0 x < 1 時(shí)， F(x) = P{X x} = P(X=0) =,求 X 的分布函數(shù) F (x) .,當(dāng) 1

41、x < 2 時(shí)， F(x) = P{X=0}+ P{X=1}= + =,當(dāng) x 2 時(shí)， F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1,故,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,的分布函數(shù)圖,,,例2：隨機(jī)變量?的概率分布為：,解：(1)由概率分布知：,求:（1）常數(shù)C（2)分布函數(shù)F(x） (3)P(-0.2<??2.5);

42、 P(??2.3); P( ??0); P( ?=-3);,0.1+0.26+C+0.3=1,得 C=0.34,(2)分布函數(shù)：,0,0.1,0.36,1,F（x）=P(??x)=,0.7,,P(??2.3)=0.1+0.26+0.34=0.7; P( ?=-3)=0 P(??0)=0.26+0.34+0.3=0.9,(3)P(-0.2<??2.5)=P(?=0)+(?=2)=0.6;,第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密

43、度,連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義概率密度的性質(zhì)概率密度與概率的關(guān)系分布函數(shù)的求法三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量,則稱(chēng) X為連續(xù)型隨機(jī)變量, 稱(chēng) f (x) 為 X 的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為概率密度 .,1. 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義,有,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在 上連續(xù),2、概率密度 f(x) 的性質(zhì)：,性質(zhì)2的幾何意義：曲線(xiàn)y=f(x)與x軸所夾的面積等于1（如圖所示的陰影面積）。,利用概率密度可確定隨機(jī)

44、點(diǎn)落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率,對(duì)于任意實(shí)數(shù) x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,,幾何意義：,下圖所示的陰影面積。,若 f (x) 在點(diǎn) x 處連續(xù) , 則有,是連續(xù)函數(shù)。,,連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定實(shí)數(shù)值x0 的概率均為0. 即,這是因?yàn)?當(dāng) 時(shí),得到,,,,(2) 對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量 X , 有,(1)由P(A)=0, 不能推出,上述性質(zhì)說(shuō)明：,,3.連續(xù)型隨機(jī)變量有關(guān)事件的概率計(jì)算-

45、----已知密度函數(shù)f(x)，求概率P(X∈I),故 X的密度 f(x) 在 x 這一點(diǎn)的值，恰好是X 落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度 之比的極限. f(x)不是X取值x的概率。但它的大小反映出X在x附近取值的概率分布的密集程度。,若 x 是 f(x) 的連續(xù)點(diǎn)，則,對(duì) f(x)的進(jìn)一步理解:,由上述討論知：,,解：,（1）,求：(1)常數(shù)k (2) p(X ? 2), p(X>1

46、), p(1.5? X<2.5) (3) 分布函數(shù)F(x),例(P51Ex1) ：已知隨機(jī)變量X 的密度函數(shù),（2）,p(X ? 2)=,p(1.5? X<2.5),p(X>1)=,解：,（3）已求得,分布函數(shù),求：(1)常數(shù)k (2) p(X ? 2), p(X>1), p(1.5? X<2.5) (3) 分布函數(shù)F(x),例(P51Ex1)：已知隨機(jī)變量X 的密度函數(shù),說(shuō)明： p(X>1)=

47、1-p(X ?1)=1-F(1)=1-3/4=1/4,p(1.5? X<2.5)=F(2.5)-F(1.5)=1-0.9375=0.0625,注：由概率密度f(wàn)(x)求分布函數(shù) F(x) ，利用 需注意當(dāng)f (x) 是分段表示時(shí)，則要分段求出 F(x) 的表示式，然后合并寫(xiě)出 F(x) 。,P43例1,連續(xù)型隨機(jī)變量有關(guān)事件的概率計(jì)算------已知分布函數(shù)f(x)或F(x)，求概率P(X∈I),,練習(xí)(P57Ex12)：已知連

48、續(xù)隨機(jī)變量 X 的概率密度為：,求 (1)常數(shù)a; (2)P（0<X<π/4)；（3）X 的分布函數(shù) F(x)。,解(1),所以,(3),,例2(P44),設(shè)某種型號(hào)電子管的壽命X（以小時(shí)計(jì)）具有以下密度函數(shù)：,試求：(1)電子管壽命在50小時(shí)到200小時(shí)之間的概率； (2)電子管壽命超過(guò)500小時(shí)的概率。,解(1),例3（P44）：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,求： (1) 常數(shù)A；（2）X的密度函數(shù)f(x)；(3

49、) p(0.3<X<0.7),解：,（1）由F(x)的連續(xù)性，得,（2）由密度函數(shù)與分布函數(shù)之間的關(guān)系，得,（3） p(0.3<X<0.7) =F(0.7)- F(0.3)=0.4,或 p(0.3<X<0.7),已知連續(xù)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為：,例(P51Ex5)：,求:(1)常數(shù)a，b （2） X 的密度函數(shù) （3）P(0<X<2） 。,解：(1)因F( x)在x = -1， x

50、 = 1點(diǎn)連續(xù)，則,即：a+ｂarcsin(1)=a+?b/2 =1,得：a=1/2 ｂ=1/?,（3）P(0<X<2)=F(2)-F(0) =1-1/2=1/2,即: a+ｂarcsin(-1)=a-?b/2 =0,4、三種常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量,則稱(chēng)X在區(qū)間( a, b)上服從均勻分布，,X ～ U[a, b],若隨機(jī)變量X的概率密度為：,（1）均勻分布,該式說(shuō)明，隨機(jī)變量 X 落入 [a , b] 中任

51、一小區(qū)間的概率與該區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與小區(qū)間在 [a , b] 上的具體位置無(wú)關(guān)，即它落入?yún)^(qū)間[a , b] 中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的，這就是均勻分布的概率意義。,例4：課本45頁(yè),解：,設(shè)每人的候車(chē)時(shí)間為?，則?服從[0, 5]上的均勻分布。? 的密度函數(shù)為,設(shè)某人的候車(chē)時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率為,某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起,每隔15分鐘來(lái)一輛車(chē)，若某乘客從7點(diǎn)到7點(diǎn)30分內(nèi)到達(dá)車(chē)站是等可能的 ，試求(1)他候車(chē)

52、少于5 分鐘的概率；(2)等車(chē)超過(guò)10分鐘的概率。,設(shè)乘客于7點(diǎn)過(guò)X分鐘到站,則X服從[0, 30]上的均勻分布。X的密度函數(shù)為,（1）等車(chē)不超過(guò)5分鐘的概率為：,解：,例：,（2）等車(chē)超過(guò)10分鐘的概率為：,定義4.3：若連續(xù)隨機(jī)變量X 的密度函數(shù)為,其中 ? > 0 為常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為 ? 的指數(shù)分布。,指數(shù)分布?？勺鳛楦鞣N“壽命”分布的近似，如電子元件的壽命，動(dòng)物的壽命，電話(huà)問(wèn)題中的通話(huà)時(shí)間，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)

53、間等都常被假定服從指數(shù)分布。,其分布函數(shù)為,2 指數(shù)分布,設(shè)某電子元件的使用壽命X服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為,例：,若一臺(tái)儀器中裝有3個(gè)這樣的元件，其中一件損壞，整機(jī)將停止工作，求該儀器工作1000小時(shí)以上的概率。,解：,就一個(gè)元件而言，工作到1000小時(shí)以上的概率為,由于儀器有三個(gè)這樣的元件，各元件壽命相互獨(dú)立，再以A表示“該儀器工作1000小時(shí)以上”，則有,例：,設(shè)X服從參數(shù)為?的指數(shù)分布，證明：對(duì)任意的s >0，t

54、>0有 P (X >s + t| X > s ) = P (X>t ),證,這是指數(shù)分布的一個(gè)有趣的“無(wú)記憶性”或無(wú)后效性。即只要X服從指數(shù)分布，便有P (X >s + t| X > s ) = P (X>t )，這表明：如果已知壽命長(zhǎng)于 s 年，則再活 t 年的概率與年齡 s 無(wú)關(guān)，故風(fēng)趣地稱(chēng)指數(shù)分布是“永遠(yuǎn)年輕”的分布。,設(shè)某日光燈管的使用壽命X服從參數(shù)為 ? = 1/2

55、000的指數(shù)分布。 (1) 任取一根這種燈管，求能正常使用1000小時(shí)以上的概率； (2) 有一根這種燈管，求正常使用了2000小時(shí)后，還能使用1000 小時(shí)以上的概率。,例：,X的密度函數(shù)，分布函數(shù)分別為,(1) P(X >1000) =1- P(X ? 1000)=1- F(1000) = e -1000? = e -1/2 ? 0.607,解：,(2),? 0.607,從本例可看出，一根燈管能正常使用1000小時(shí)以上的概率

56、為0.607，在使用2000小時(shí)后還能使用1000小時(shí)以上的概率仍為0.607。驗(yàn)證了指數(shù)分布的 “無(wú)記憶性”或無(wú)后效性。,3. 正態(tài)分布,1）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布定義,定義4.4 若連續(xù)型 隨機(jī)變量 X 的概率密度為,則稱(chēng) X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為 X ~ N(0 , 1)。,?0 (x)的性質(zhì)(具備P42一般密度函數(shù)的性質(zhì)),(1) ? 0(x) 是連續(xù)、可導(dǎo)的偶函數(shù)，即有 ? 0(- x) = ?0 (x)。曲線(xiàn)?0 (

57、x)是關(guān)于 縱軸對(duì)稱(chēng)的古鐘型曲線(xiàn)；,(2)在x=0處?0 (x) 取得最大值,(3) ? 0(x) 在（-?，0）內(nèi)單增，在（0，+?）內(nèi)遞減。,(4) ? 0(x)在x=1，-1點(diǎn)取得拐點(diǎn)，且以x軸為漸近線(xiàn)。,2） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù),? 0(x)的性質(zhì)：,? 0(- x) = 1- ? 0(x)，特別地，?0 (0) = 0.5,其分布函數(shù)為：,?0(x)的幾何意義：曲線(xiàn)? 0(x)與x軸之間在直線(xiàn)t=x左邊圖形的面積,若 X

58、~ N(0,1)，密度函數(shù)為,3）?0 (x)與? 0(x) 的計(jì)算,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)? 0(x)和分布函數(shù)? 0(x)值查附表二、三。,注: (1)當(dāng) 0≤x <5時(shí)， 直接查表； (2)當(dāng)x ?5時(shí) ， ? 0(x) ≈ 0，? 0(x)≈1 ； (3)當(dāng) -5<x <0時(shí)， ? 0(- x) = ?0 (x)，? 0(x)=1-? 0(-x)； (4)當(dāng)x ?- 5時(shí)，

59、 ? 0(x) ≈ 0， ? 0(x) ≈ 0.,例,已知X ~N(0,1)，查表求：（1）? 0(1.65)， ? 0(-1)， ? 0(0.86)， ? 0(6.4) ；（2）? 0(1.65) ，? 0(-1) ，? 0(6.4),解 查表得：（1）? 0(1.65)=0.1023， ? 0(-1)= ? 0(1)= 0.2420， ? 0(0.86)=0.2756， ? 0(6.4) =0；（2）?

60、 0(1.65) =0.95053，? 0(-1) =1-? 0(1) =1-0.8413=0.1587， ? 0(6.4)≈1,------轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)? 0(x)的求值計(jì)算,4）有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算,有關(guān)? 0(x)的結(jié)論：,(1) 對(duì)于? (x)，有? (- x) = 1- ? (x) ，?0 (0) = 0.5,(2) P (a<X?b) = P (a?X?b) =P (a?X&

61、lt;b)= P (a<X<b)=? (b) - ? (a),(3) P (X<a) = P (X?a) =? (a),(4) P (X>a) = P (X≥a) =1-? (a),(5) P ( |X| ? x) =? 0(x) - ? 0(-x)= 2?0 (x) - 1 ；,(6) P ( |X| ? x) = P ( X? x) +P ( X? -x)= 2[1-? 0(x)],例：已知X ~N(0,1)

62、，求：(1) P(X <0.68)；(2) P(X ?1.74)；(3) P( | X | ? 1.96)；(4) P( | X | ? 1.84) (5) P(X <5.18)； (6) P(X ?- 8.7)；,解 (1) P(X < 0.68) = P(X ? 0.68) = ?0 (0.68) = 0.7517,(2) P(X ?1.74)=1-P(X <1.74)=1-? 0(1.74)=1-

63、0.9591=0.0409,(3) P( |X| ? 1.96) = P(-1.96?X? 1.96)=?0(1.96)- ?0(-1.96) =2?0(1.96)-1= 2×0.975 - 1= 0.95,(4) P( | X | ? 1.84) = 2[1 - ?0(1.84)] = 0.0658,(5) P(X < 5.18) = ?0 (5.18) 1,(6) P(X?-8.7)=?0(-

64、8.7)=1-?0(8.7) 0,注： 當(dāng)x ?5時(shí) ? 0(x) 1 ，當(dāng)x ?- 5時(shí)? 0(x) 0，當(dāng) 0<x <5時(shí)查表 當(dāng) -5<x <0時(shí)? 0(x)=1-? 0(-x),5）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點(diǎn),設(shè),若數(shù) 滿(mǎn)足條件,,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)? 分位數(shù)求法步驟：,例：,解,定義4.6：若連續(xù)隨機(jī)變量X 的概率密度為,其中 ? 為常數(shù)，? >

65、0 為常數(shù)，則稱(chēng) X 服從參數(shù)為 ? , ? 2 的正態(tài)分布，記為 X ~ N(? , ? 2)。,正態(tài)分布滿(mǎn)足密度函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：,其分布函數(shù)為,6）一般正態(tài)分布,例如 X ~ N(1，4） 則? =1, ? =2,圖形如右圖所示，正態(tài)密度曲線(xiàn)呈古鐘形曲線(xiàn)。,(1) ? (x) 在R上連續(xù)、可導(dǎo)；,(2) ? (x) 圖形關(guān)于直線(xiàn) x = ? 對(duì)稱(chēng)。,(3) 在 x = ? 處， ? (x)取得最大值：,(4) ? (

66、x)在x=μ+σ，μ-σ處取得拐點(diǎn)。,(5) ? (x) 以x軸為漸近線(xiàn)。,(6) 參數(shù) ? 決定曲線(xiàn) ? (x)的位置，參數(shù) ? 決定曲線(xiàn)? (x)的形狀。固定 ? 而改變 ? 值，則曲線(xiàn)左右位置不同但形狀不變，即此時(shí)? (x)圖形沿著 x 軸平行移動(dòng)；固定 ? 而改變 ? 值，則曲線(xiàn)形狀改變而位置不 變。 ? 值越大時(shí)曲線(xiàn)越平緩，? 值越小，曲線(xiàn)越陡峭。,一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系,定理4.1：若 X ~ N(? , ? 2

67、)，Y~ N(0 , 1)，它們的密度函數(shù)分別記為? (x)和 ? 0(x) ，分布函數(shù)分別記為? (x) 和?0 (x) ，則,證：,,定理4.2,證,Y 的分布函數(shù)為,此定理說(shuō)明：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線(xiàn)性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,------先轉(zhuǎn)化為一般正態(tài)分布的分布函數(shù)? (x)的求值計(jì)算，然后再轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)? 0(x)的求值計(jì)算。,有關(guān)一般正態(tài)分布的概率計(jì)算,若隨機(jī)變量 X

68、 ~ N (? , ? 2)，則隨機(jī)變量 X 落在區(qū)間 (a , b]內(nèi)的概率可以轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來(lái)計(jì)算，即,例：設(shè)X~ N (1.5, 4)，求(1)P ( X <3.5); (2)P (1.5< X < 3.5);,(3) P (| X | ≥ 3).,解：μ=1.5，σ=2 ，設(shè)Φ(x)為X的分布函數(shù)，則,(1) P (X<3.5) =Φ (3.5),(2) P (1.5<X<3.5)=

69、Φ (3.5)-Φ (1.5),(3) P (| X | ≥ 3),=1- P (| X | < 3),=1- P (-3<X <3),=1-Φ (3)+Φ (-3),例：若 X ~N(?, ? 2)，求： P (| X - ? |? ? ) ， P (| X - ? |? 2? ) ， P (| X - ? |? 3? ),解:,P (| X - ? |? ? ) =? (? +?）-? (? -?） =