[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)王明慈第二版第6章參數(shù)區(qū)間估計(jì)2,3節(jié)

1、,假定總體X的1～m 階原點(diǎn)矩,存在，,第二步：用樣本k階原點(diǎn)矩代替總體k階原點(diǎn)矩，即,矩估計(jì)法步驟：,設(shè)總體X的分布中含有m個(gè)待估的未知參數(shù),則,第一步:求總體X的k階原點(diǎn)矩,,解含m個(gè)參數(shù) 的m個(gè)方程組,,得,以 作為參數(shù) 的估計(jì)量.,第三步:,第四步:,最大似然估計(jì)(MLE)的步驟:,第一步:,第二步:,第三步:,第四步:,第二節(jié) 判別估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn),基本內(nèi)容：,一、無偏性,二、有效性,三、 一致性,估計(jì)

2、量是樣本的函數(shù),是隨機(jī)變量.,故一個(gè)好的估計(jì),應(yīng)在多次試驗(yàn)中體現(xiàn)出優(yōu)良性.,由不同的樣本觀測(cè)值, 就得到不同的參數(shù)估計(jì)值.,所以,,估計(jì)量的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則,在介紹估計(jì)量好壞的準(zhǔn)則前, 必須強(qiáng)調(diào)指出:,評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量的好壞,不能僅僅依據(jù)一次試驗(yàn)的結(jié)果, 而必須由多次試驗(yàn)結(jié)果來衡量.,一、無偏性,定義：,若,?,例1.已知正態(tài)分布的未知參數(shù)? ,? 2的矩估計(jì)量,最大似然估計(jì)量相同，即,解：,由,由于,,(1) 樣本均值 X 是總體均值E(X)

3、的無偏估計(jì)量；,(3) 樣本 k 階原點(diǎn)矩,一般地，(例1 P156),是總體k 階原點(diǎn)矩,E( Xk )的無偏估計(jì)量；,(2) 樣本方差,是總體方差D(X),的無偏估計(jì)量；,,證明: (3),由樣本的定義知，Xi與X有相同分布,集中,,,^ ^設(shè) ? 1 和 ? 2 都是參數(shù)? 的無偏估計(jì)量,,二、有效性,^ ^即 D(? 1) <D(? 2).,未知參

4、數(shù)? 的無偏估計(jì)量不是唯一的.,^藍(lán)色是采用估計(jì)量 ? 1 , 用 14 個(gè)樣本值得到的 14 個(gè)估計(jì)值.,^ 紫色是采用估計(jì)量 ? 2 , 用 14 個(gè)樣本值得到的 14 個(gè)估計(jì)值.,分散,^ ^D(? 1 )< D(? 2 ),^ ^ 則稱 ? 1 較 ? 2 有效.,都是未知參數(shù)? 的無偏估計(jì)量.,當(dāng)樣本容量n一定時(shí), 若在?的所有無偏估計(jì)量中,,若,解：,─故 X 比 X i (i=1

5、, 2,…, n)有效.,∴當(dāng)n≥2時(shí)，,無偏估計(jì)量，問哪一個(gè)更有效？,例2.,易知,例3.,設(shè)X1，X2，X3是來自總體X的樣本, 且,統(tǒng)計(jì)量中哪個(gè)更有效？( ),總體均值E(X)= ?未知, 則下列4個(gè)關(guān)于? 的,C,分析：利用P181的7題結(jié)論，可選C.,三、一致性,定義：,證明一致估計(jì)的方法：,回顧例子.設(shè)總體X的概率密度為,X1, X2,…, Xn 是取自總體X 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,,解：,內(nèi)容小結(jié),1.無偏性,?

6、樣本 k 階原點(diǎn)矩是總體 k 階原點(diǎn)矩 的無偏估計(jì)量 ;,? 樣本方差 S 2 是總體方差 ? 2 的無偏估計(jì)量 ;,2.有效性,—— 方差更小的無偏估計(jì)量.,? 在 ?的所有線性無偏估計(jì)量中, 樣本均值 X 是最有效的.,3.一致性,而區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷.,為了使估計(jì)的結(jié)論更可信, 需要引入?yún)^(qū)間估計(jì).,參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù).使用起來把握不大.,點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值,它沒有反

7、映出這個(gè)近似值的誤差范圍.,—— 估計(jì)量的期望等于未知參數(shù)的真值.,,第三節(jié) 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),基本內(nèi)容：,一、區(qū)間估計(jì)的概念二、正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)三、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì),給定的概率 1- ? (0 < ? < 1),,定義 設(shè)總體 X 的分布中含有未知參數(shù)?，,若存在兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量,一、區(qū)間估計(jì)的概念,對(duì)于,使得,的置信區(qū)間,,注：,若進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)抽樣，得到n個(gè)樣本觀測(cè)值,,根據(jù)伯努利大數(shù)定理,

8、 在這n個(gè)隨機(jī)區(qū)間中,,由伯努利大數(shù)定理的解釋：,,例如,？,二、正態(tài)總體均值? 的區(qū)間估計(jì),1. 已知方差? 2= ?02的正態(tài)總體 X, 求未知參數(shù)?,1- ? 的置信區(qū)間,解：,設(shè)總體 X ~ N( ? ,? 2), 有,其置信區(qū)間的長(zhǎng)度為,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中對(duì)稱于原點(diǎn)的置信區(qū)間是最短的,,故,若滾珠直徑服從正態(tài)分布X ~ N( ? ,? 2), 并且已知,例1.,滾珠的直徑（單位：mm）如下:,14.6, 15.0, 14.7

9、, 15.1, 14.9, 14.8, 15.0, 15.1, 15.2, 14.8,? = 0.16(mm),求滾珠直徑均值?的置信水平為95%,的置信區(qū)間.,解：,由上面求解?的置信水平為1- ? 的置信區(qū)間,從某廠生產(chǎn)的滾珠中隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得,(14.821, 15.019),由分位點(diǎn)的定義,經(jīng)查表,由此得,代入公式,,2.未知方差?2 的正態(tài)總體 X, 求未知參數(shù)?的,1- ?的置信區(qū)間,解：,設(shè)總體 X ~

10、 N( ? ,? 2), 有,由t分布的概率密度曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，,對(duì)稱于原點(diǎn),的置信區(qū)間是最短的.,其置信區(qū)間的長(zhǎng)度為,故,并且方差?2未知, 求滾珠直徑均值?的置信水平為,例2.從某廠生產(chǎn)的滾珠直徑X ~ N( ? ,? 2),,滾珠的直徑（單位：mm）如下:,14.6, 15.0, 14.7, 15.1, 14.9, 14.8, 15.0, 15.1, 15.2, 14.8,95%的置信區(qū)間.,抽取10個(gè),,解：

11、,由?的置信水平為1- ? 的置信區(qū)間,由此得,得到?的95%的置信區(qū)間為,代入公式,(14.92-0.138, 14.92+0.138),即(14.782, 15.058) (mm),由? 2分布的概率密度曲線是不對(duì)稱的，,三、正態(tài)總體方差? 2 的區(qū)間估計(jì),1- ?的置信區(qū)間,解：,設(shè)總體 X ~ N( ? ,? 2), 有,仿照前述,的置信區(qū)間取法：,1. 已知均值?= ? 0的正態(tài)總體 X, 求未知參數(shù)? 2,故,并且?=14

12、.9(mm), 求滾珠直徑方差?2的置信水平為,例3.從某廠生產(chǎn)的滾珠直徑X ~ N( ? ,? 2),,滾珠的直徑（單位：mm）如下:,14.6, 15.0, 14.7, 15.1, 14.9, 14.8, 15.0, 15.1, 15.2, 14.8,95%的置信區(qū)間.,抽取10個(gè),,解：,由?2的置信水平為1- ? 的置信區(qū)間,查表得? 2分布的分位點(diǎn),得到?2的95%的置信區(qū)間為,代入公式,即(0.0166,

13、 0.1046) (mm2),2.未知均值?的正態(tài)總體 X, 求未知參數(shù)? 2 的,1- ? 的置信區(qū)間,解：,設(shè)總體 X ~ N( ? ,? 2), 有,仿照前面的置信區(qū)間取法：,故,并且?未知，求滾珠直徑方差?2的置信水平為,例4.從某廠生產(chǎn)的滾珠直徑X ~ N( ? ,? 2),,滾珠的直徑（單位：mm）如下:,14.6, 15.0, 14.7, 15.1, 14.9, 14.8, 15.0, 15.1, 15.