[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)王明慈第二版第3章隨機(jī)變量的數(shù)字特征2-5節(jié)

1、2024/3/26,1,它反映隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.,復(fù)習(xí): 數(shù)學(xué)期望,2024/3/26,2,基本內(nèi)容： 一、方差的定義 二、方差的性質(zhì),第二節(jié) 方差,2024/3/26,3,一、方差 (Variance),1. 問(wèn)題的導(dǎo)入,引例 比較甲乙兩個(gè)射手的射擊水平,分析,乙,甲,但是乙射手的波動(dòng)性較大,,不夠穩(wěn)定.,2024/3/26,

2、4,為了數(shù)學(xué)上的方便，,如何描述這種差異呢？,P(X=xi)=pi ( i=1,2, ‥‥‥),其平均射擊水平為E(X)，,則他每次射擊的波動(dòng)性為,或 | xi - E(X) |,以[ xi-E(X) ]2 代替 | xi-E(X) |,則該射手的平均射擊波動(dòng)為,xi - E(X),設(shè)某射手擊中的環(huán)數(shù)為隨機(jī)變量X，其分布律為,2024/3/26,5,2.方差 (Variance 或 Dispersion),定義.,設(shè)X是一隨機(jī)變量，,

3、則稱(chēng)E[X-E(X)]2稱(chēng)為X的方差,,記作D(X),即,方差的算術(shù)平方根,稱(chēng)為 X 的標(biāo)準(zhǔn)差，,記作,即,若E[X－E(X)]2存在，,2024/3/26,6,注:,(2) 方差D(X) 用來(lái)體現(xiàn)隨機(jī)變量X取值分散的程度,,反映了X偏離其數(shù)學(xué)期望E(X)的程度.,(3) 如果D(X)值越大(小)，,表示X取值越分散(集中),,以E(X)作為隨機(jī)變量X的代表性越差（好）.,≥0 ;,(1) 由定義知，D(X)=E[X-E(X)]2,,2

4、024/3/26,7,3. 方差的計(jì)算,(1)利用隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式,離散隨機(jī)變量的方差,連續(xù)隨機(jī)變量的方差,2024/3/26,8,(2)利用方差公式,且E(X2),也存在,,則,由于,定理：設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)存在，,2024/3/26,9,解:,例1. 若,求D(X).,已求得,,=E(X),其中X~P( λ ),2024/3/26,10,已求得,例2.若X～U (a, b), 求D(X).,解:,2024/3/

5、26,11,解:,例3. 若,求D(X).,已求得,,=E(X),其中X~e( 1),2024/3/26,12,補(bǔ)充：,,例,求D(X).,2024/3/26,13,二、方差的性質(zhì),證:,證:,2024/3/26,14,證:,2024/3/26,15,故 DXi = EXi 2 -(EXi )2,∵ EXi =1·p + 0·(1-p ) = p,,且 EXi2 = p,,則 是n 次試驗(yàn)中A

6、出現(xiàn)的次數(shù)，,= p – p 2 = p (1 -p) = p q， i=1, 2,…, n,因 X1, …, Xn 相互獨(dú)立，,= np q.,顯然 P(Xi=1)= p, P(Xi=0)=1-p,,= n p;,,求方差D(X).,解:,例4. 設(shè)X服從二項(xiàng)分布B(n,p),,設(shè)Xi為第i次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，即,2024/3/26,16,U(a, b),e(? ),P(? ),?,?,B(n, p),(0—1),

7、p pq np npq,常用隨機(jī)變量的期望與方差,,,,,,,分布,分布列或密度函數(shù),期望,方差,,,2024/3/26,17,例5.已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)與,設(shè)隨機(jī)變量,試證,證：,(標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量),都存在,,且,2024/3/26,18,,n 次隨機(jī)取值的平均值的期望不變,,令,求,解,取多次測(cè)量均值的理論依據(jù),但偏差比任一次取值的偏差縮小了n 倍,若被測(cè)物的真值為μ,,n 次重復(fù)

8、測(cè)量可認(rèn)為是互不影響的,,,且每次測(cè)量的結(jié)果 Xi 都在真值μ的附近波動(dòng),——(1),——(2),(1)表明 n 次測(cè)量的算術(shù)平均值仍在真值μ附近取值,,(2)則表明 更加接近真值μ,,且 n 越大,接近程度就越好.,例6設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,,—— 在對(duì)誤差要求較高的精密測(cè)量中,2024/3/26,19,(4) 對(duì)于任意實(shí)數(shù)C∈R，有 （書(shū)P93. 8題）,E ( X-C )2≥D( X ),當(dāng)且僅當(dāng)C = E(X)時(shí)

9、, E ( X-C )2取得最小值D(X).,2024/3/26,20,求證,當(dāng)且僅當(dāng)C = E(X)時(shí), E ( X-C )2取得最小值D(X).,E ( X-C )2≥D( X ),證：,2024/3/26,21,對(duì)于任意的正數(shù),設(shè)X的數(shù)學(xué)期望 E(X) 與方差D(X) 存在,,有,(5) (切比雪夫不等式):,證：,僅選擇連續(xù)隨機(jī)變量的情形來(lái)證明.,設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f (x),,則有,2024/3/26,22,注: (

10、1)它給出了在X的分布未知的情況下，估計(jì),的方法；,(2)說(shuō)明了方差D(X)的確刻畫(huà)了X對(duì)E(X)偏離程度,,由,可知: D(X)越小,(即X偏離E(X)程度越小),,越大，,(表明X取值越集中在E(X)的附近)；,(3) 它是大數(shù)定律的理論基礎(chǔ).,,另一形式：,,2024/3/26,23,例10.,已知正常男性成人每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)平均7300,,標(biāo)準(zhǔn)差700, 利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升血液中白細(xì)胞數(shù),在5200~9400之間的

11、概率. (P94.19題),解：,設(shè)X表示每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)，依題意得,2024/3/26,24,若 存在，稱(chēng)它為X的k階中心矩.,第三節(jié) 原點(diǎn)矩與中心矩,定義. 設(shè)X是隨機(jī)變量，若 存在，稱(chēng)它為X的k階原點(diǎn)矩.,k=2, E[X-E(X)]2為方差.,特別地，k=1, E[X-E(X)],

12、=0.,特別地，k=1,E(X)為數(shù)學(xué)期望.,k=2,E(X2)為2階原點(diǎn)矩,其計(jì)算公式,2024/3/26,25,定義.隨機(jī)變量X與Y的函數(shù)[X-E(X)][Y-E(Y)],的數(shù)學(xué)期望存在，,則稱(chēng)其為X與Y的協(xié)方差,,cov (X, Y),,即,記作,,第4節(jié) 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),若兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的，則,意味著當(dāng) 時(shí), X

13、和Y不獨(dú)立。,2024/3/26,26,協(xié)方差的簡(jiǎn)便計(jì)算方法：,定義：若X與Y的協(xié)方差cov(X,Y)=0，即E(XY)-E(X)E(Y)=0則稱(chēng)X與Y不相關(guān) .,2024/3/26,27,若X與Y相互獨(dú)立，則X與Y一定不相關(guān);,分析: 若X與Y相互獨(dú)立,兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系,不一定成立.,∴X與Y不相關(guān).,反之,,X與Y不相關(guān) cov(X,Y)=0.,,,若X與Y不相關(guān)，則,2024/3/26,2

14、8,協(xié)方差的性質(zhì),（1）cov(X,Y)=cov(Y,X);（2）cov(X,c)=0; cov(X,X)=D(X);（3）cov(aX,bY)=ab·cov(X,Y) ，a，b為常數(shù)（4）cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z);（5）,2024/3/26,29,相關(guān)系數(shù) Correlation coefficient,定義 設(shè)隨機(jī)變量X與Y的數(shù)學(xué)期望與方差都存在，則將X與Y

15、標(biāo)準(zhǔn)化得到的隨機(jī)變量的協(xié)方差cov(X*,Y*)稱(chēng)為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作R(X,Y)，即 R(X,Y)= cov(X*,Y*).,2024/3/26,30,相關(guān)系數(shù) Correlation coefficient,因?yàn)镋(X*)=0, E(Y*)=0, 所以 其實(shí)這也是相關(guān)系數(shù)的另一種定義。,2024/3/26,31,則對(duì)于任意的正數(shù),1. 切比雪夫定理,定理：,設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列X1,

16、X2, … , X n ,…,的數(shù)學(xué)期望,E(X1), E(X2), … , E(X n), …,,D(X1), D(X2), … , D(X n), …都存在，,與方差,并且方差是,一致有上界的,,即存在常數(shù)C,,使得,D (Xi) ≤C, i=1,2,…,n,…,有,第五節(jié) 大數(shù)定律,2024/3/26,32,根據(jù)切比雪夫不等式得,證：,∵D (Xi) ≤C,（ i=1,2,…,n,…），,2024/3/26,33,方差都存在，,

17、切比雪夫定理解釋?zhuān)?若獨(dú)立序列X1, X2, … , X n ,…的數(shù)學(xué)期望和,并且方差是一致有上界的, 則,n充分大時(shí), 算術(shù)平均,緊密地集中在,其數(shù)學(xué)期望,的附近.,2024/3/26,34,2.伯努利大數(shù)定理（頻率的穩(wěn)定性）,定理 設(shè) 是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率， p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù) ,恒有,證明：,又EXi = p, DXi =p（1-p）,

18、設(shè)Xi為第i次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)i=1,2,…,n，,則這些變量相互獨(dú)立，且服從相同分布：“0-1”分布,≤1/4, i=1,2,…，n,由切比雪夫不等式得,2024/3/26,35,小概率事件的實(shí)際不可能性原理——,概率很小的隨機(jī)事件在個(gè)別試驗(yàn)中實(shí)際上是不可能發(fā)生的,例：從某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取200件來(lái)檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有,6件次品，能否相信該工廠產(chǎn)品的次品率不大于1%？,解：假設(shè)該工廠的次品率,小概率事件,小概率事件發(fā)生了，

19、說(shuō)明原假設(shè)不成立，即,不能否相信該工廠產(chǎn)品的次品率不大于1%。,2024/3/26,36,1. 理解方差的定義：,2. 熟悉方差的性質(zhì):,內(nèi)容小結(jié),2024/3/26,37,(5) 若E(X) 與 D(X) 存在，,對(duì)于任意的正數(shù),(4) 對(duì)于任意實(shí)數(shù)C∈R，有,E ( X-C )2≥D( X ),當(dāng)且僅當(dāng)C = E(X)時(shí), E ( X-C )2取得最小值D(X).,有,2024/3/26,38,3.熟悉一些常見(jiàn)分布的方差,,①

20、若X～B(n, p), D(X) = npq;,② 若,③ 若X～U(a, b),,④ 若,2024/3/26,39,4. 方差的計(jì)算方法,① 利用方差的定義:,② 利用方差的簡(jiǎn)化公式：,③ 利用方差的性質(zhì)；,④ 利用常見(jiàn)分布的方差.,2024/3/26,40,,習(xí)題三( P92) : 5、6、9、10、11、13,作業(yè),2024/3/26,41,備用題,1. 判斷正誤：,(1) 任何隨機(jī)變量X都能其計(jì)算期望和方差. ( ),(

21、2)期望反映的是隨機(jī)變量取值的集中位置，,方差反映的是隨機(jī)變量取值的分散程度。( ),(3) 隨機(jī)變量X的方差越小，X取值越集中，,方差越大，X取值越分散。( ),答案: (1) X; (2) √; (3) √.,2024/3/26,42,2.選擇題,A. 4, 0.6 ； B. 6, 0.4； C. 8, 0.3； D. 24, 0.1,A. -1； B. 2；

22、C. 1； D. 3,2024/3/26,43,(4),2024/3/26,44,分析,,(1) 由 X~B(n, p)得：,解方程組得 n=6, p=0.4, 故選B.,2024/3/26,45,故選 C.,2024/3/26,46,（3）,,故選 C.,2024/3/26,47,(4)由題（3）知：,,且,根據(jù)切比雪夫不等式，應(yīng)選D,2024/3/26,48,3.假設(shè)有十只同種電器元件,其中只有兩只廢品,,,裝

23、配儀器時(shí)，從這批元件中任取一只，如是廢品,,則扔掉重新任取一只; 如仍然是廢品, 則扔掉再取,一只. 試求在取到正品之前, 已取出的廢品只數(shù)的,解：,設(shè)X表示在取到正品前已取出的廢品數(shù), 則,X的概率分布為,方差（續(xù)）.,2024/3/26,49,,E(X)=0×0.8+1×(8/45)+2×(1/45)=2/9.,根據(jù)定義, 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為,故X的方差為,2024/3/26,50,分布函數(shù)F(x

24、)在(-∞, +∞)處處連續(xù)，故,4.設(shè)X的分布函數(shù)為,,試確定常數(shù)a, b, 并求 E(X)與D(X).,解：,F(x)在x=-1和x=1處連續(xù), 有,,2024/3/26,51,即,解方程組得,,X的概率密度函數(shù)為,=0,2024/3/26,52,D(X),原式=,,2024/3/26,53,5. 設(shè),隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,解：,2024/3/26,54,6. 設(shè)每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.5,,共進(jìn)行了1000次試驗(yàn)，用切