[學(xué)習(xí)]概率論課件第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、2024/3/26,1,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,例1 甲,乙兩人進(jìn)行打靶, 所射中環(huán)數(shù)分別記為X1, X2, 它們的分布律分別為:X1 8 9 10 X2 8 9 10pk 0.3 0.1 0.6 pk 0.2 0.5 0.3試評定他們射擊技術(shù)的好壞.,§1

2、 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,2024/3/26,2,若使兩個射手各射N槍，則他們打中的環(huán)數(shù)大約是：,他們平均射中的環(huán)數(shù)約為,2024/3/26,3,平均起來甲每槍射中 9.3環(huán)，乙射中9.1環(huán)，因此甲的技術(shù)要好些。,受此問題啟發(fā)在上式中用概率代替頻率引入如下定義：,2024/3/26,4,2024/3/26,5,例2 設(shè)X為投擲一顆骰子時出現(xiàn)的點數(shù)，則X的分布律為,于是，X的數(shù)學(xué)期望為,下面計算一些離散型分布的期望值。,1) (0-1)分布

3、 設(shè)X服從(0-1)分布，分布律為,P{X=1}=p,P{X=0}=q, 0<p<1,q=1-p,X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)=1·p+0·q=p,2024/3/26,6,2024/3/26,7,2024/3/26,8,2024/3/26,9,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：,設(shè)f(x)為連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度，對X的取值區(qū)間作一分割，有,2024/3/26,10,下面計算常用連續(xù)型變量的數(shù)學(xué)期望：,則,它

4、恰是區(qū)間[a,b]的中點。,2024/3/26,11,指數(shù)分布是最常用的“壽命分布”之一，期望表明?值越小，產(chǎn)品平均壽命越長。,2024/3/26,12,2024/3/26,13,因此, 柯西分布的數(shù)學(xué)期望不存在.,2024/3/26,14,隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式:,2024/3/26,15,說明: 1. 在已知Y是X的連續(xù)函數(shù)前提下,當(dāng)我們求E(Y)時不必知道Y的分布, 只需知道X的分布就可以了.,2. 上述定理可以推廣到多

5、維r.v.函數(shù).,2024/3/26,16,2024/3/26,17,例7 某商品的市場需求量X服從[2000,4000]上的均勻分布，每售出一噸掙 3 萬元，售不出則每噸需保養(yǎng)費1萬元，問應(yīng)組織多少貨源才能使收益最大。,當(dāng)y=3500時達(dá)到最大值，因此組織3500噸貨源是最好的決策。,2024/3/26,18,2024/3/26,19,2024/3/26,20,均值的性質(zhì):,(1) E(c)=c; (c為常數(shù)),說明: i. 性

6、質(zhì)(3)和(4)可以推廣到有限個r.v.(X1, X2, …, Xn)的情況.,(2) E(cX)=cE(X);( c為常數(shù)),(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y);,(4) 設(shè)X,Y相互獨立, 則E(XY)=E(X)E(Y);,(5) |E(XY)|2≤E(X2)E(Y2).(許瓦爾茲不等式),ii. 對于“和”,不要求X1,X2,…,Xn相互獨立; 對于“積”要求X1,X2,…,Xn相互獨立.,2024/3/26,21,例

7、1. 二項分布的均值的計算:,設(shè)X~b(n,p),引入r.v.Xi(i=1, 2, …, n), 它們是相互獨立的且都服從0--1分布: P{Xi=1}=p, P{Xi=0}=q, X表示n次獨立重復(fù)試驗中A發(fā)生的次數(shù),Xi表示第i次試驗的結(jié)果:Xi=1表示A發(fā)生, Xi=0表示A不發(fā)生, 所以,說明: 將X分解成數(shù)個r.v.之和,然后利用r.v.和的數(shù)學(xué)期望等于r.v.的數(shù)學(xué)期望之和來求解. 這個方法具有一定的普遍意義.,2024/3

8、/26,22,2024/3/26,23,2024/3/26,24,§2. 方差,方差描述了r.v.對其數(shù)學(xué)期望的離散程度, 在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中十分重要.,一、定義,2024/3/26,25,若X為離散型r.v.其分布律為P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 則,2024/3/26,26,在前面例1中,X,Y表示甲乙一次擊中的環(huán)數(shù),有,可見甲的技術(shù)不夠“穩(wěn)定”,乙方差小較“穩(wěn)定”.,方差的計算公式:,2024/3/26,2

9、7,2024/3/26,28,10. 設(shè)隨機(jī)變量X具有(0--1)分布, 其分布律為 P{X=0}=1-p, P{X=1}=p, 則,E(X)=0?(1-p)+1?p=p,,故 D(X) =E(X2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p).,E(X2)=02?(1-p)+12?p=p,,下面計算一些常見分布的方差,2024/3/26,30,2024/3/26,31,2024/3/26,32,2024/3/26,33,2024/3

10、/26,34,2024/3/26,35,二、方差的性質(zhì):,10 設(shè)C是常數(shù), 則D(C)=0;,20 設(shè)X是r.v., C是常數(shù), 則有 D(CX)=C2D(X);,30 設(shè)X, Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量, 則有 D(X?Y)=D(X)+D(Y);,2024/3/26,36,2024/3/26,37,40 D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C, 即 P{X=C}=1.,2024/3/26,38,例1

11、 設(shè)X~b(n,p),分解X,求其方差D(X).,易知X1,X2,…,Xn獨立同服從(0--1)分布，因此,2024/3/26,39,所以結(jié)論成立.,2024/3/26,40,2024/3/26,41,三. 切比雪夫(Chebyshev)不等式:,2024/3/26,42,這個估計的精度不高，但具有普遍適用性。,2024/3/26,43,§3. 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),展開可得計算公式: Cov(X, Y

12、)=E(XY)-E(X)E(Y).,由方差性質(zhì)證明知,對于任意的兩個r.v.X和Y, 有 D(X?Y)=D(X)+D(Y) ?2Cov(X,Y).,2024/3/26,44,協(xié)方差的性質(zhì):,10 Cov(X, Y)=Cov(Y, X);,20 Cov(a1X+b1, a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y), 其 中a1, a2, b1,b2是常數(shù);,30 Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X

13、2, Y);,60 |Cov(X, Y)|2≤D(X)·D(Y); “ =”成立當(dāng)且僅當(dāng)X與Y之間有嚴(yán)格的線性關(guān)系。(Y=aX+b),50 若X, Y相互獨立, 則Cov(X, Y)=0.,40 Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=D(X),a為常數(shù);,2024/3/26,45,此不等式對應(yīng)的方程無實根或有二重根,故有,2024/3/26,46,顯然，相關(guān)系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)化了的協(xié)方差。,2024/3/26,47,注意：相關(guān)系數(shù)

14、?XY刻劃了X, Y之間的線性相關(guān)關(guān)系,當(dāng)?XY=0時, 稱X,Y不相關(guān)是指它們之間沒有線性相關(guān)關(guān)系. ?XY=1或-1時，X與Y有嚴(yán)格線性關(guān)系。,2024/3/26,48,2024/3/26,49,例1.設(shè)(X, Y)服從二維正態(tài)分布,求X和Y的相關(guān)系數(shù).,2024/3/26,50,由第三章我們曾證明過的一個命題,設(shè)(X, Y)服從二維正態(tài)分布, 則X, Y相互獨立的充要條件是?=0. 知X與Y不相關(guān)與X和Y相互獨立是等價的

15、.,2024/3/26,51,公式：Cov(aX+bY,cX+dY) =acD(X)+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdD(Y),例2 X~N(2003,1),Y~N(2004,1),且X與Y獨立，求3X-Y與X+Y的相關(guān)系數(shù)。,解：由于X，Y獨立，則Cov(3X-Y,X+Y),D(3X-Y)=9D(X)+D(Y)=10,D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2,=3D(X)+2Cov(X,Y)-D(Y)=

16、3-1=2,2024/3/26,52,§4. 矩、協(xié)方差矩陣,一. 定義: 設(shè)X和Y是隨機(jī)變量,,顯然, E(X),E(Y)為一階原點矩, D(X),D(Y)為二階中心矩, ?XY為二階混合中心矩.,(1) 若E(Xk), k=1, 2, …存在, 則稱它為X的k階原點矩.,(2) 若E{[X-E(X)]k}, k=1, 2, …存在,則稱它為X的k階中心矩.,(3) 若E(Xk?Yl), k, l=1, 2, …存在, 則

17、稱它為X和Y的k+l階混合矩.,(4) 若E{[X-E(X)]k?[Y-E(Y)]l}, k, l=1, 2,…存在, 則稱它為X和Y的k+l階混合中心矩.,2024/3/26,53,二維隨機(jī)變量(X1,X2) 有四個二階中心矩，分別記為,將它們排成矩陣形式,稱這個矩陣為(X1,X2)的協(xié)方差矩陣。,二、定義,2024/3/26,54,2024/3/26,55,三. 協(xié)方差陣的性質(zhì):,10 C是對稱的; (由協(xié)方差的性質(zhì)Cov(X,Y)

18、 =Cov(Y,X), cij= cji可得),20 cii=D(Xi), i=1, 2, 3, …, n.,30 cij2 ≤ cii cjj, i,j=1, 2, …, n.(由許瓦爾茲不等 式可得),40 C是非負(fù)定的, 即對任意的n維向量 a=(a1, a2, …, an)T, 都有aTCa≥0.,|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2).(許瓦爾茲不等式),2024/3/26,56,四. n維正

19、態(tài)變量:,2024/3/26,57,2. 性質(zhì):,20 n維r.v. (X1, X2, …, Xn)服從n維正態(tài)分布的充要條件是X1, X2, …, Xn的任一線性組合 l1X1+l2X2+ …+ln Xn服從一維正態(tài)分布.,30 若(X1, X2, …, Xn)服從n維正態(tài)分布, 設(shè)Y1,Y2,…, Yn是Xj(j=1, 2, …, n)的線性函數(shù), 則(Y1,Y2, …Yn)也服從多維正態(tài)分布.,40 若(X1, X2, …, X

20、n)服從n維正態(tài)分布, 則“X1, X2, …, Xn”相互獨立與“X1, X2, …, Xn”兩兩不相關(guān)是等價的.,10、n維正態(tài)變量(X1, X2, …, Xn)的每一個分量Xi都是正態(tài)變量；反之，若X1, X2, …, Xn都是正態(tài)變量，且相互獨立，則(X1, X2, …, Xn)是n維正態(tài)變量。,2024/3/26,58,練習(xí),2024/3/26,59,3 將n個編號為1-n的n個球隨機(jī)放入m個盒子中去(盒子容量不限)，X表示有