第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,,第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望,第二節(jié) 方差,第三節(jié) 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù),第四節(jié) 矩、協(xié)方差矩陣,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,,前面討論了隨機(jī)變量的分布函數(shù)，從中知道隨機(jī)變量的分布函數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 但在許多實(shí)際問題中，人們并不需要去全面考察隨機(jī)變量的變化情況，而只需要知道它的數(shù)字特征即可。,§4.1 數(shù)學(xué)期望,例1 設(shè)甲、乙兩射手在同樣條件下進(jìn)行射擊，其命中環(huán)數(shù)是一

2、 隨機(jī)變量，分別記為X、Y，并具有如下分布律 X 10 9 8 7 Y 10 9 8 7 Pk 0.6 0.1 0.2 0.1 Pk 0.4 0.3 0.1 0.2試問甲、乙兩射手的射擊水平哪個較高？,,

3、,,,解,由此可見，射手甲的射擊水平略高與射手乙的射擊水平。,（環(huán)）,定義1 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為 若級數(shù) 絕對收斂，則稱此級數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.記為E(X)．即,定義2 連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 f(x), 若積分 絕對收斂，則稱此積分值為隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望，記為E(X), 即,[注] 數(shù)

4、學(xué)期望簡稱為期望，又稱為均值.,例1 設(shè)X~?(?), 求 E(X),解 X的分布律為,E(X)=?,例2 設(shè)X~U(a, b), 求 E(X),解,X的概率密度為,E(X)=,例3 設(shè)有5個相互獨(dú)立的電子元件,其壽命Xk (k=1,2,..,5)均服從同一指數(shù)分布，其概率密度為 求將這5個元件(1)串聯(lián)，(2)并聯(lián)組成系統(tǒng)的平均壽命．,(1) 串聯(lián)時系統(tǒng)壽命

5、 ，,其分布函數(shù)為,解 Xk的分布函數(shù)為,(2)并聯(lián)時系統(tǒng)壽命 ，,M的概率密度為,其分布函數(shù)為,,解 一臺收費(fèi)Y的分布律,Y 1500 2000 2500 3000pk P{X?1}

6、 P{ 13},,,0.0952 0.0861 0.0779 0.7408,E(Y)=2732.15,,,(1) X(離散型)的分布律為： 若級數(shù) 絕對收斂，則,(2) X(連續(xù)型)的概率密度為 f (x) ,若積分 絕對收斂，則,定理1 設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)：Y=g(X

7、) (g為連續(xù)函數(shù)),隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,,Y=g(X),證 （1）由離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布，有,,,（2）設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，Y=g(X)的概率密度為,例5 設(shè)風(fēng)速V在(0,a)上服從均勻分布，飛機(jī)機(jī)翼受到的壓力 W=kV2, (k為常數(shù)), 求W的數(shù)學(xué)期望．,解 風(fēng)速V的概率密度為,例6 國際市場每年對我國某種商品的需求量X（噸）是一隨機(jī)變量，它服從(a, b)上的均勻分布．設(shè)每售出該商品一噸可以為國家創(chuàng)匯 s萬元，

8、但若銷不出去而壓于倉庫，則每噸虧損 l 萬元，問應(yīng)組織多少貨源才使國家收益的期望值最大？,解 設(shè)組織貨源為t（噸）,由題意a≤t ≤b, 收益Y是X的函數(shù)：,令 得:,(3) 若(X,Y)是離散型，其分布律為,(4) 若(X,Y)是連續(xù)型，其概率密度為f (x, y)，則,定理推廣：,則,定理推廣：,設(shè) Z=g(X,Y)（g為二元連續(xù)函數(shù)),,求

9、 的數(shù)學(xué)期望．,XY2 1 4 2 8,,,例7 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為,解 (X,Y)的取值及對應(yīng)的概率如下表:,(X,Y) (1,1) (1,2) (2,1) (2,2),pk 0.4 0.3 0.2 0.1,X+Y 2 3

10、 3 4,,X,(1) 若(X,Y)是離散型，其分布律為,則,結(jié)論：,(2) 若(X,Y)是連續(xù)型，其概率密度為f (x, y)，則,,例8 設(shè)(X,Y)的概率密度為,求數(shù)學(xué)期望E(Y), E(1/XY).,解,,,,,xy=1,o,x,y,x=y,,1,假設(shè)以下隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望均存在． 1. E(C)=C, （C是常數(shù)） 2. E(CX)=CE(X), （C是常

11、數(shù)） 3. E(X±Y)=E(X) ±E(Y), 4. 設(shè)X與Y相互獨(dú)立, 則 E(XY)=E(X)E(Y),數(shù)學(xué)期望的性質(zhì):,[注] 性質(zhì)3.4.可推廣到有限個的情況.,,證 (僅對(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量證明性質(zhì)3,4) 設(shè)(X,Y)的概率密度為f（x,y），其邊緣概率密度分別為 fX（x,y）， fY（x,y），則,又若X與Y相互獨(dú)立，則,由題意

12、,[注] 這種引進(jìn)新的隨機(jī)變量，將原隨機(jī)變量分解成有限個隨機(jī)變量之和,再求數(shù)字特征的方法具有一定的普遍意義.,例9 一民航機(jī)場的送客車，載有20名乘客自機(jī)場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達(dá)一站沒旅客下車就不停車．假設(shè)每位旅客在各站下車是等可能的，且旅客之間在哪一站下車相互獨(dú)立．以X表示停車次數(shù)，求E(X)．,解 引入隨機(jī)變量,則,解法一：由已知得,解法二：,同理,解 由于X與Y相互獨(dú)立，則 與

13、 也相互獨(dú)立，,解 甲乙平均命中環(huán)數(shù)為 E(X)=8.9 (環(huán))，E(Y)=8.9 (環(huán)) 從平均水平看，甲、乙的技術(shù)水平不相上下， 進(jìn)一步考慮他們射擊的穩(wěn)定性,1.定義 設(shè)X是一隨機(jī)變量，若E{[X-E(X)]2} 存在，則稱為隨機(jī)變量 X 的方差，記為D(X)或Var(X)．即,§4.2 方差,1.離散型:,2.連續(xù)型:,3.計(jì)算公式：,并 稱

14、為X隨機(jī)變量的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差，記?(X)．,[注] 方差刻畫了隨機(jī)變量X的取值與其均值的偏離程度，它的大小可以衡量隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性.,計(jì)算公式的推導(dǎo)：,由方差的定義及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，有,例1 設(shè)甲、乙兩射手在同樣條件下進(jìn)行射擊，其命中環(huán)數(shù)分 別用X、Y表示，分布律分別為 X 10 9 8 7 Y10 9 8

15、 7 0.5 0.1 0.2 0.2 0.4 0.3 0.1 0.2,,,,,解,故從平均水平看，甲、乙的技術(shù)水平不相上下，,由于E(X2)=80.7 , E(Y2)=80.5,于是 D(X)= E(X2)-[ E(X)] 2 D(Y)= E(Y2)-[ E(Y)] 2,所以，從穩(wěn)定性來看，射手乙的技術(shù)水平略高于射手甲.,甲平均命中環(huán)數(shù):,試評定甲、乙

16、的技術(shù)水平．,乙平均命中環(huán)數(shù):,E(X)=10?0.5+9?0.1+8? 0.2+7 ? 0.2=8.9 (環(huán))，,E(Y)=10?0.4+9?0.3+8? 0.1+7 ? 0.2=8.9 (環(huán))，,進(jìn)一步考慮他們射擊的穩(wěn)定性，即D(X), D(Y),,=1.49,=1.29,例2 設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)= ?, 方差D(X)=?2?0.,記,則,-------稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化變量，,例3 設(shè)隨機(jī)變量X具有(0--1)分布, 則,E

17、(X)= p, D(X)=p(1-p).,例4 設(shè)X~?(?) ,求 D(X),例5 設(shè)X~U(a,b) ,求 D(X),例6 設(shè)X服從參數(shù)為? 的指數(shù)分布,求E(X)， D(X),=?. ( E(X)= ?),= (b-a)2/12. (E(X)= (a+b)/2),= ? 2,=?,,泊松分布:,,2.方差的性質(zhì),(假設(shè)下列方差均存在),推廣：設(shè)X1,…,Xn是n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則,,(1) D(C)

18、=0, (C為常數(shù)),(2) D(C X)=C2 D(X), D(X+C)=D(X), (C為常數(shù)),(4) D(X)=0 ? P{X=C}=1 ,其中C=E(X).,例7 設(shè)X1, ... , Xn相互獨(dú)立，且服從同一參數(shù)為 p 的 (0-1)分布, 證明： X= X1+...+Xn服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布, 并求 E(X)，D(X).,,證 X的所有可能取值為0,1,…,n , X=k表示X1,...,Xn中有

19、k個取1， n-k個取0，共有 種方式，故,即X服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布.,例8 設(shè)X~N(?, ?2 ) , 則E(X)= ? , D(X)= ?2 .,推廣: Xi ~ N(?i , ? i2 ) , (i=1,2,…n), 且相互獨(dú)立，則,正態(tài)分布X~N(?,?2),,,服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的分布完全由其數(shù)學(xué)期望和方差所確定．,定理 設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=? , 方

20、差D(X)=?2, 則對任意的正數(shù)?，有,切比雪夫不等式:,證 （僅就X為連續(xù)型時來證）設(shè)X的概率密度為f(x)，則,,[注] 此不等式給出了在隨機(jī)變量的分布未知的情況下事件 的概率的一種估計(jì)方法。,--------切比雪夫(chebyshev)不等式．,例10 設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布，且求X的數(shù)學(xué)期望與方差.,例1

21、1 設(shè) X~N(1,2), Y服從參數(shù)為 3 的泊松分布，且X與Y獨(dú)立，求 D(XY).,例9 設(shè) E(X)=-2, D(X)=1，E(Y)=2, D(Y)=4, 且X與Y獨(dú)立，根據(jù)切比雪夫不等式估 P{|X+Y|?5}.,答：,答：?1/5,答：27,幾種重要隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及方差,二項(xiàng)分布 X~b(n,p),泊松分布 X~π(?),分布 分布密度

22、 數(shù)學(xué)期望E(X) 方差D(X),,,,,,,,均勻分布,正態(tài)分布X~N(?,?2),np np(1-p),?,?,?,?2,解:,于是,例13一臺設(shè)備由10個獨(dú)立工作的元件組成，每一元件在時間T發(fā)生故障的概率為0.05．設(shè)在時間T發(fā)生故障的元件數(shù)為X，試用切比雪夫不等式估計(jì)隨機(jī)變量X與其數(shù)學(xué)期望的偏差（a）小于2；(b)不小于2的概率．,解 （a）由題意知X~b(1

23、0, 0.05)，且,由切比雪夫不等式，得,E(X)=0.5 D(X)=0.475,(b),§4.3 協(xié)方差 相關(guān)系數(shù),定義1 設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，若 E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，則稱其為隨機(jī)變量X與Y的 協(xié)方差，記為Cov(X,Y)．即,,(2)若(X,Y)為連續(xù)型,其概率密度為f(x,y), 則,,計(jì)算公式：,協(xié)方差的性質(zhì)：,1.Cov(X,

24、Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 2.D(X+Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y),1.Cov(X,X)=D(X)； 2.Cov(X, Y)=Cov(Y, X)；3.Cov(aX, bY)=abCov(X, Y)； (a,b為常數(shù)) 4.Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1, Y)+Cov(X2, Y)； 5

25、.若X與Y獨(dú)立，則 Cov(X, Y)=0.,例1 設(shè)(X,Y)具有概率密度,求 Cov(X,Y).,答：,解：,[注] ? ?XY是一個無量綱的量．,? X, Y相互獨(dú)立 ? X與Y不相關(guān)；反之不一定.,定義2 設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，若D(X)>0, D(Y)>0,為隨機(jī)變量X與Y的 相關(guān)系數(shù)，記為 ?XY ．,稱,特別，當(dāng)?XY =0時，稱X與Y不相關(guān)．,X與Y不相關(guān) ? Cov(X,Y)

26、 ?E(XY)=E(X)E(Y) ?D(X+Y)=D(X)+D(Y),相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：,,,,數(shù),證明： 考慮用X的某個線性函數(shù)a+bX來近似表達(dá)Y，我們以均方誤差 來衡量以 a+bX 來近似表達(dá)Y 近似的好壞程度.

27、選取a，b 使 e 值最小.,證2o,,,,,反之，若,,,,,,[注],(1)相關(guān)系數(shù)?XY刻畫了隨機(jī)變量 Y 與X之間的“線性相關(guān)”程度: |?XY| 的值越接近于1， Y 與X 的線性相關(guān)程度越高； |?XY| 的值越接近于0， Y與X 的線性相關(guān)程度較弱.,(2) 當(dāng)?XY =0時,只說明Y 與X之間沒有線性關(guān)系,并不能說明Y 與X之間沒有其他函數(shù)關(guān)系,從而不能推出Y 與X獨(dú)立.,例2 設(shè)(X,Y)均勻分布在以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，

28、R為半徑的圓的內(nèi)部，則隨機(jī)變量X與Y不相關(guān), 但X與Y也不相互獨(dú)立.,解：由已知得,故,所以X與Y不相關(guān),又因?yàn)?所以,X與Y也不相互獨(dú)立,例3 設(shè) 則X, Y相互獨(dú)立 ? X, Y不相關(guān)．,解,由上章§3.4例1知，X, Y相互獨(dú)立?? = 0，即?XY=0, 亦即X,Y不相關(guān)．由此知二維正態(tài)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立與不相

29、關(guān)是等價的．,例4 已知 設(shè) , 求,解,定義1 設(shè)X, Y為隨機(jī)變量, k, l為正整數(shù)，稱,§4.5 矩 協(xié)方差矩陣,為X的k階原點(diǎn)矩( k階矩),為X的 k階中心矩;,為X和Y的k+l 階混合矩;,為X和Y的k+l 階混合中心矩,,[注],(1)E(X)是X的一階原點(diǎn)矩；,(2)D(X)是X的二階中心矩；,(3)Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心

30、矩.,定義2 設(shè)n維隨機(jī)變量 的二階混合中心矩都存在，稱矩陣,其中,顯然：,為n維隨機(jī)變量 的協(xié)方差矩陣。,例4 設(shè)?服從[??，?]上的均勻分布，且X=sin?，Y=cos ?, 判斷X與Y是否不相關(guān)？是否獨(dú)立？,答： X與Y不相關(guān)；X2+Y2=1 不獨(dú)立.,例 設(shè)