[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)王明慈第二版第3-5節(jié)重積分的計(jì)算

1、,二、二重積分的基本性質(zhì),一、二重積分的概念,重積分,解法: 類(lèi)似定積分解決問(wèn)題的思想:,引例1.曲頂柱體的體積,給定曲頂柱體:,底： xOy 面上的有界閉區(qū)域 D,頂: 連續(xù)曲面,側(cè)面：以 D 的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平行于 z 軸的柱面,求其體積.,“分割, 近似替代, 近似求和, 取極限”,,1)“分割”,用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個(gè)小閉區(qū)域,以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個(gè),2)“近似替代”,在每個(gè),3)“近似求和”,則,中任

2、取一點(diǎn),小曲頂柱體,,,,4)“取極限”,令,,,,一、二重積分的定義及可積性,定義:,將區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域,任取一點(diǎn),若存在一個(gè)常數(shù) I , 使,可積 ,,在D上的二重積分.,積分和,,,,,,是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) ,,引例1中曲頂柱體體積:,引例2中平面薄板的質(zhì)量:,如果 在D上可積,,元素d?也常記作,二重積分記作,這時(shí),分區(qū)域 D ,,因此面積,可用平行坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃,,,二重

3、積分的幾何意義:,= V 表示曲頂柱體的體積;,表示曲頂柱體體積的負(fù)值；,表示各部分體積的代數(shù)和.,(3)一般f (x, y),,= - V,二重積分存在定理:,若函數(shù),定理2.,(證明略),定理1.,在D上可積.,限個(gè)點(diǎn)或有限條光滑曲線外都連續(xù) ,,積.,在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),,則,若有界函數(shù),在有界閉區(qū)域 D 上除去有,例如,,在 D :,,上二重積分存在 ;,在D 上,二重積分不存在 .,二、二重積分的基本性質(zhì),( k 為常數(shù))

4、,? 為D 的面積, 則,? 為D 的面積, 則,推論2. 由于,則,推論1. 若在D上,則,5. 若在D上,(a≤b) 與曲線,1. 設(shè)被積函數(shù)f (x, y), 有界閉區(qū)域D是由直線x=a, x=b,三、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分,圍成的.,X - 型區(qū)域,( 先y 后x 的二次積分 ),,,(c≤d) 與曲線,2. 設(shè)被積函數(shù)f (x, y), 有界閉區(qū)域D是由直線y=c, y=d,圍成的.,Y - 型區(qū)域,( 先x 后y 的二次

5、積分 ),,,說(shuō)明: 若積分區(qū)域既是 X - 型區(qū)域又是Y - 型區(qū)域 ,,為計(jì)算方便,可選擇積分序, 必要時(shí)還可以交換積分序.,則有,3. 若有界閉區(qū)域D較復(fù)雜,可將它分成,,若干X - 型域或Y - 型域 ,,則,例1. 計(jì)算二重積分,其中D是直線,x= -2, x=2與y=-1,y=1圍成的矩形.,解：,,D看作X - 型區(qū)域,,,,,例2. 計(jì)算,其中D 是直線 y＝1, x＝2, 及,y＝x 所圍的閉區(qū)域.,解法1. 將D看

6、作X - 型區(qū)域, 則,解法2. 將D看作Y - 型區(qū)域, 則,,例3. 計(jì)算,其中D 是拋物線,所圍成的閉區(qū)域.,解: D為Y-型區(qū)域, 則,,,,,及直線,例4. 計(jì)算,其中D 是直線,所圍成的閉區(qū)域.,解: 由被積函數(shù)可知,,因此取D 為X - 型域 :,先對(duì) x 積分不行,,說(shuō)明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.,例5.計(jì)算二重積分,其中區(qū)域D 是由直線,與雙曲線,圍成的閉區(qū)域 .,,,,解: Y-型區(qū)域，則,,