[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第5講

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講,主講教師：柴中林副教授,中國計量學(xué)院理學(xué)院,設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其可能取值為 x1, x2 , … 。,為描述隨機(jī)變量 X ，我們不僅要知道其所有可能的取值，還應(yīng)知道取各值的概率。,§2.2 離散型隨機(jī)變量,,這樣，我們就掌握了X 這個取值的概率分布。,例1：盒子中有2個白球，3個紅球，從中任取3 球， 記 X 為取到白球數(shù)。則 X 是一隨機(jī)變量。,X 可能取的值為: 0, 1, 2。,

2、取各值的概率為,且,用這兩條性質(zhì)判斷一個數(shù)列是否是概率分布。,2.2.1 離散型隨機(jī)變量概率分布的定義,定義1 ：設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 所有可能取的值為 且有,則稱上式為離散型隨機(jī)變量 X 的概率分布或分布律，也稱概率函數(shù)。其中 p1 , p2, …滿足,概率分布也可用下面表格的形式給出：,分布律體現(xiàn)了隨機(jī)變量取各個可能值及其概率分布情況（相當(dāng)于列出了一個隨機(jī)現(xiàn)象的所有基本事件及其概率分布

3、）。,解：依據(jù)概率分布的性質(zhì),欲使上述數(shù)列為概率分布，應(yīng)有,例2：設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布為,確定常數(shù) a 。,從中解得,這里用到了冪級數(shù)展開式,例3：某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求其兩次獨立投籃后，投中次數(shù) X 的概率分布。,解：X 可取的值為 ：0, 1, 2，且,P(X=0) = (0.1)(0.1) = 0.01，,P(X=1) = 2(0.9)(0.1) = 0.18 ,,P(X=2) = (0.9)(0.9) = 0

4、.81 .,易見： P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1 .,例 4：,如上圖所示,電子線路中裝有兩個并聯(lián)繼電器。設(shè)這兩個繼電器是否接通具有隨機(jī)性，且彼此獨立。已知各電器接通的概率為0.8，記X為線路中接通的繼電器的個數(shù)。求 (1). X 的概率分布；(2). 線路接通的概率。,解：(1). 記 Ai={第 i 個繼電器接通}, i =1, 2.因兩個繼電器是否接通是相互獨立的,所以A1和A2相互獨立，且 P(

5、A1)=P(A2)= 0.8 .下面求 X 的概率分布:首先，X 可能取的值為: 0, 1, 2 . P{X=0} = P{表示兩個繼電器都沒接通},P{X=1} = P{恰有一個繼電器接通},P{X=2} = P{兩個繼電器都接通},所以，X的分布律為,(2). 因線路是并聯(lián)電路，所以 P(線路接通) = P(只要一個繼電器接通) = P{X≥1} = P{

6、X=1}+P{X=2} = 0.32+0.64 = 0.96.,2.2.2 常見離散型隨機(jī)變量的概率分布,1. 兩點分布,P(X =0) =1- p , P(X =1) =p,其中0< p <1，則稱X服從參數(shù)為p的兩點分布或0-1分布, 記成 X～B(1, p)。,設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0或1兩個值，其分布律為,兩點分布適用于樣本

7、空間只有兩個樣本點的隨機(jī)現(xiàn)象。,例 5：200 件產(chǎn)品中，有196件正品，4件次品，今從中隨機(jī)地抽取一件，若規(guī)定,則 P{X=1} = 196/200 = 0.98, P{X=0} = 4/200 = 0.02 .故 X 服從參數(shù)為0.98的兩點分布，即 X～B(1, 0.98)。,設(shè)隨機(jī)變量 X的可能取值為: 0, 1, 2,…,n, 且：,2. 超幾何分布,其中n, M, N都 是常數(shù)， 且n≤N，M≤N

8、。則稱 X 服從超幾何分布, 記作 X ～ H(n;M,N) 。,注意：當(dāng)k>M, n-k>N-M時有P(X=k)=0.當(dāng)然，它也滿足概率非負(fù)，總概率為1的公理。,解：令X 表示 8名代表中女生的人數(shù)，則X ~ H(n;15,40) ,從而所求概率為,例：班級中有40個學(xué)生，其中女生15名，今從中任意選取8人出席一個會議，求其中恰有3名女生的概率.,超幾何分布適用的情況是總的元素分成兩類，從中抽出若干，這其中抽到屬于第一類

9、的元素數(shù)目的概率。,例6：某射手每次射擊時命中10環(huán)的概率為 p, 現(xiàn)進(jìn)行 4 次獨立射擊，求 {恰有 k 次命中10環(huán)}的概率。,3. 貝努里概型與二項分布,解：用X 表示 4 次射擊后, 命中10環(huán)的次數(shù), 則,其中“×”表示未中，“○”表示命中。,易見：X 的概率分布為,例7：將一枚勻稱的骰子擲 3 次，令X 表示 3 次中出現(xiàn)“4”點的次數(shù)。,不難求得，X 的概率分布是為,擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”,射擊：

10、“中10環(huán)”， “未中10環(huán)”,抽驗產(chǎn)品：“抽到正品”,“抽到次品”,設(shè)重復(fù)地進(jìn)行 n 次獨立試驗，每次試驗“成功”的概率都是 p, “失敗”的概率是 q=1-p 。,一般地，設(shè)在一次試驗中只有兩個互逆的結(jié)果： , 形象地把兩個互逆結(jié)果叫做“成功”和“失敗”。如：,這樣的 n 次獨立重復(fù)試驗稱作 n 重貝努里試驗，簡稱貝努里試驗或貝努里概型(也稱獨立實驗序列)。,用X 表示 n 重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，

11、則,稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 (n, p) 的二項分布, 記成 X ~ B(n, p)。,貝努里概型對試驗結(jié)果有下述要求：,(1). 每次試驗條件相同；,二項分布描述的是：n 重貝努里試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù) X 的概率分布。,(3).各次試驗相互獨立。,(2). 每次試驗只考慮兩個互逆結(jié)果 A 或 ,,例8 ：某類燈泡使用2000小時以上視為正品。已知有一大批這類的燈泡,次品率是0.2。隨機(jī)抽出20只燈泡做壽命試驗,求這20只

12、燈泡中恰有3只是次品的概率。,解: 設(shè)X為20只燈泡中次品的個數(shù)，則,X ~ B (20, 0.2)，,則有,注：這是一個不重復(fù)抽樣問題，故嚴(yán)格的講屬于超幾何分布，不屬于二項分布。但因為燈泡數(shù)量巨大，抽出的燈泡數(shù)量相對較小，故可看作重復(fù)抽樣，用二項分布予以解決。這樣做產(chǎn)生的誤差很小，但問題卻大大的簡化了。,命題：設(shè)X ~ H(n;M,N) ，則當(dāng)N→∞時， X近似服從二項分布B(n;p) ，即下面的近似等式成立,其中p=M/N, q=1

13、-p。 該命題的意義是：當(dāng)總的元素很多，而抽取的元素很少時，每次抽到第一類元素的機(jī)會幾乎都是M/N，從而從中抽取若干元素就近似于二項分布。,下面我們研究二項分布 B(n, p) 和兩點分布B(1, p)之間的一個重要關(guān)系。,設(shè)試驗 E 只有兩個結(jié)果: A 和 。,將試驗 E 在相同條件下獨立地進(jìn)行 n 次，記 X 為 n 次獨立試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)。描述第i 次試驗的隨機(jī)變量記作 Xi , 則 Xi ～ B(1

14、, p)，且 X1, X2 , …, Xn相互獨立 ( 隨機(jī)變量相互獨立的嚴(yán)格定義將在第三章講述)。則有,X= X1+X2+ … +Xn .,設(shè)隨機(jī)變量 X 所有可能取的值為: 0, 1, 2,…, 概率分布為：,4. 泊松分布,其中λ>0 是常數(shù)， 則稱 X 服從參數(shù)為λ的泊松分布, 記作 X ～ P(λ) 。,易見,例9：某一無線尋呼臺，每分鐘收到尋呼的次數(shù)X服從參數(shù) ?=3 的泊松分布。求： (1). 一分鐘內(nèi)恰好收到3

15、次尋呼的概率； (2).一分鐘內(nèi)收到2至5次尋呼的概率。.,解:,(1). P{X=3} = p(3; 3) = (33/3!)e-3 ≈ 0.2240； (2). P{2≤X≤5} = P{X=2} + P{X=3} + P{X=4} + P{X=5} = [ (32/2!) + (33/3!) + (34/4!) + (35/5!) ]e-3 ≈ 0.7169.,解:,例 10: 某一城

16、市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù) X 服從參數(shù)為0.8的泊松分布。求該城市一天內(nèi)發(fā)生 3 次以上火災(zāi)的概率。,P{X≥3}= 1-P{X<3} = 1-[ P{X=0}+P{X=1}+P{X=2} ] = 1-[ (0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!) ]e-0.8 ≈ 0.0474 .,泊松分布的圖形,歷史上，泊松分布是作

17、為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的 。,二項分布與泊松分布的關(guān)系,定理1(泊松定理): 對二項分布 B(n,p), 當(dāng) n充分大, p又很小時,對任意固定的非負(fù)整數(shù) k，有近似公式,由泊松定理，n重貝努里試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布。,我們把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件。如：地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等。,設(shè)事件A在每次實驗中發(fā)生的概率為p，現(xiàn)獨立的重復(fù)進(jìn)行該實驗，直到A發(fā)生為

18、止。用X表示進(jìn)行實驗的次數(shù)，則X的分布律為：,5. 幾何分布,并稱X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為 X ～ G(λ) 。,例11：某出租汽車公司共有出租車400輛，設(shè)每天每輛出租車出現(xiàn)故障的概率為0.02，求:一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障的概率。,解: 將觀察一輛車一天內(nèi)是否出現(xiàn)故障看成一次試驗 E。因為每輛車是否出現(xiàn)故障與其它車無關(guān), 于是, 觀察400輛出租車是否出現(xiàn)故障就是做 400 次貝努利試驗。設(shè) X 表示一天內(nèi)出現(xiàn)故障的出

19、租車數(shù), 則 X ～ B(400, 0.02)。令 ? = np = 400×0.02 = 8 ，于是, P{一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障} = P{X=0} = b(0;400,0.02) ≈(80/0!)e-8 = 0.0003355.,小結(jié),本節(jié)首先介紹離散型隨機(jī)變量及其概率分布；然后介紹幾種常見的離散型概率分布：兩點分布、超幾何分布、二項分布、泊松分布和幾何分布及其關(guān)系。,對于離散型隨機(jī)變量