[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)柴中林第20講

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二十講,主講教師：柴中林副教授,中國計(jì)量學(xué)院理學(xué)院,第八章 假設(shè)檢驗(yàn),§8.1 基本概念,下面，我們討論不同于參數(shù)估計(jì)問題的另一類統(tǒng)計(jì)推斷問題——根據(jù)樣本提供的信息，檢驗(yàn)總體的某個(gè)假設(shè)是否成立的問題。,這類問題稱為假設(shè)檢驗(yàn)。,,假設(shè)檢驗(yàn),參數(shù)檢驗(yàn),非參數(shù)檢驗(yàn),總體分布已知情形下，檢驗(yàn)未知參數(shù)的某個(gè)假設(shè),總體分布未知情形下的假設(shè)檢驗(yàn)問題,先看一個(gè)例子。,例1：某工廠生產(chǎn) 10 歐姆的電阻，根

2、據(jù)以往生產(chǎn)的電阻實(shí)際情況，可以認(rèn)為: 電阻值 X服從正態(tài)分布 N(?, 0.12)?，F(xiàn)在隨機(jī)抽取10個(gè)電阻, 測得它們的電阻值為:9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10.0, 10.5, 10.1, 10.2. 問: 從樣本看，能否認(rèn)為該廠生產(chǎn)的電阻的平均值 ? = 10 歐姆?,● 確定總體：記 X 為該廠生產(chǎn)電阻的測值，則 X ～ N(?, 0.12)；● 明確任務(wù)：通過樣本推斷

3、 “X 的均值 μ 是否 等于10歐姆”；● 假設(shè)：上面的任務(wù)是要通過樣本檢驗(yàn)“X 的 均值μ =10”這一假設(shè)是否成立。,I. 如何建立檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?原假設(shè)的對立面是 “ X 的均值 μ ≠10”，稱為 “對立假設(shè)” 或 “備擇假設(shè)”，記成 “ H1: μ ≠10”。把原假設(shè)和對立假設(shè)合寫在一起，就是:,H0：μ =10； H1：μ≠10.,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把 “ X 的均值 μ =10” 這樣一個(gè)待檢驗(yàn)

4、的假設(shè)記為 “原假設(shè)” 或 “零假設(shè)”,記成 “ H0：μ =10”。,II. 解決問題的思路,因樣本均值是 μ 的一個(gè)很好的估計(jì)。所以，當(dāng) μ =10，即原假設(shè) H0 成立時(shí),應(yīng)比較小；,如果該值過大, 想必 H0 不成立。,于是，我們就用 的大小檢驗(yàn) H0 是否成立。,合理的做法應(yīng)該是：找出一個(gè)界限 c，,這里的問題是：如何確定常數(shù) c 呢？,細(xì)致地分析:,根據(jù)定理 6.4.1，有,于是，當(dāng)原假設(shè) H0

5、：μ=10 成立時(shí)，有,為確定常數(shù) c，我們考慮一個(gè)很小的正數(shù)?， 如? = 0.05。當(dāng)原假設(shè) H0: μ =10 成立時(shí)，有,于是，我們就得到如下檢驗(yàn)準(zhǔn)則:,為原假設(shè) H0 的拒絕域。,用以上檢驗(yàn)準(zhǔn)則處理我們的問題，,所以，接受原假設(shè) H0:μ=10。,因?yàn)?，?dāng)原假設(shè)是 H0:μ =10 成立時(shí)，,所以，當(dāng) ? 很小時(shí)，若 H0 為真(正確), 則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域是一小概率事件 (概率很小，為? )。前面我們曾提到：“通常認(rèn)

6、為小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會發(fā)生”。,III. 方法原理,那么，如果小概率事件發(fā)生了，即:,發(fā)生, 就拒絕接受 H0 成立，即認(rèn)為 H0不成立。,IV. 兩類錯(cuò)誤與顯著性水平,當(dāng)我們檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè) H0 時(shí)，有可能犯以下兩類錯(cuò)誤之一：H0 是正確的，但被我們拒絕了，這就犯了“棄真”的錯(cuò)誤，即拋棄了正確假設(shè)；H0 是不正確的，但被我們接受了，這就犯了“取偽”的錯(cuò)誤，即采用了偽假設(shè)。,因?yàn)闄z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量總是隨機(jī)的，所以，我們總是以一定的概

7、率犯以上兩類錯(cuò)誤。,通常用 α 和 β 記犯第一、第二類錯(cuò)誤的概率，即,在檢驗(yàn)問題中，犯“棄真”和“取偽”兩類錯(cuò)誤都總是不可避免的，并且減少犯第一類錯(cuò)誤的概率，就會增大犯第二類錯(cuò)誤的概率;反之亦然。,所以，犯兩類錯(cuò)誤的概率不能同時(shí)得到控制。,在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，通?？刂品傅谝活愬e(cuò)誤的概概率。一般事先選定一個(gè)數(shù) ?(0<?<1)，要求犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過 ?。稱 ? 為假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平，簡稱水平。,犯第二類錯(cuò)誤的概率的計(jì)算超

8、出了課程的學(xué)習(xí)范圍。因此，不作討論。,例1(續(xù))：分析該例的顯著性水平。,H0:μ =10，,現(xiàn)在我們來分析一下：取上述 c 后，如果 H0 是正確的，卻被我們拒絕了。這時(shí)，犯第一類錯(cuò)誤的概率是多少呢？,可見：用該方法進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，犯第一類錯(cuò)誤的概率等于 ?，即顯著性水平等于 ?。,因?yàn)楫?dāng)原假設(shè) H0: μ =10 成立時(shí)，有,分析:,§8.2 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn),8.2.1 單正態(tài)總體 N(?, ?2)均值 ?

9、 的檢驗(yàn),1. 雙邊檢驗(yàn) H0: μ = μ0；H1: μ≠μ0,假設(shè) ?2已知，根據(jù)上節(jié)中的例1，當(dāng)原假設(shè) H0: μ = μ0 成立時(shí)，有,在應(yīng)用上，?2未知的情況是常見的。此時(shí)，和前面不同的是：常用樣本方差 S2代替未知的?2 。,以上檢驗(yàn)法稱作 U 檢驗(yàn)法。,當(dāng) ?2未知時(shí)，根據(jù)基本定理 6.4.1 ，當(dāng)原假設(shè) H0: μ = μ0 成立時(shí)，有,此檢驗(yàn)法稱作 t 檢驗(yàn)法。,解：n=10, ? =0.05, ?0=

10、10， t10-1(? /2)=t9(0.025)=2.2622，,例1(續(xù)例 8.1.1) : 假設(shè)?2未知，檢驗(yàn),所以，接受原假設(shè) H0: μ =10.,H0: μ =10；H1: μ≠10.,上一段中， H0:μ=μ0 ; H1: μ≠μ0 的對立假設(shè)為 H1: μ ≠μ0 , 該假設(shè)稱為雙邊對立假設(shè)。,2. 單邊檢驗(yàn) H0: μ =μ0; H1: μ >μ0,而現(xiàn)在要處理的對立假

11、設(shè)為 H1: μ >μ0, 稱為右邊對立假設(shè)。,類似地，H0: μ =μ0; H1: μ <μ0 中的對立假設(shè)H1: μ <μ0，假設(shè)稱為左邊對立假設(shè)。右邊對立假設(shè)和左邊對立假設(shè)統(tǒng)稱為單邊對立假設(shè)，其檢驗(yàn)為單邊檢驗(yàn)。,例如：工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的數(shù)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，均值為 μ0 ；采用新技術(shù)或新配方后，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)還服從正態(tài)分布，但均值為 ? 。我們想了解 “?是否顯著地大于μ0”,即產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)是否顯著地增加了。,

12、如果μ =μ0，即原假設(shè)成立，則 就,不應(yīng)太大；反之，如果 過大，就認(rèn)為原假設(shè)不成立。,在?2已知情況下，根據(jù)定理6.4.1，知：,當(dāng)原假設(shè) 成立時(shí)，,單邊檢驗(yàn) H0: μ =μ0; H1: μ >μ0,在?2未知情況下，當(dāng)原假設(shè) 成立時(shí)，,例 2：某廠生產(chǎn)一種工業(yè)用繩,其質(zhì)量指標(biāo)是繩子所承受的最大拉力，假定該指標(biāo)服從正態(tài)分布，且該廠原來生產(chǎn)的繩子指標(biāo)均值 μ0 =15公斤，采用一種新原材料后,廠方稱這種

13、原材料提高了繩子的質(zhì)量，也就是說繩子所承受的最大拉力 μ 比15公斤增大了。 為檢驗(yàn)該廠的結(jié)論是否真實(shí)，從其新產(chǎn)品中隨機(jī)抽取50件，測得它們所承受的最大拉力的平均值為15.8公斤，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=0.5公斤。取顯著性水平? =0.01。問從這些樣本看：能否接受廠方的結(jié)論。,解：問題歸結(jié)為檢驗(yàn)如下假設(shè) H0: μ =15; H1: μ >15 (?2未知),于是，,從而，拒絕原假設(shè)，即

14、認(rèn)為新的原材料確實(shí)提高了繩子所能承受的最大拉力。,8.2.2 兩個(gè)正態(tài)總體 N(?1, ?12) 和 N(?2, ?22) 均值的比較,在應(yīng)用上，經(jīng)常會遇到兩個(gè)正態(tài)總體均值的比較問題。,例如：比較甲、乙兩廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的質(zhì)量。將兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)分別看成正態(tài)總體 N(?1, ?12) 和 N(?2, ?22)。比較它們的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的問題，就變?yōu)楸容^這兩個(gè)正態(tài)總體的均值 ?1和 ?2的的問題。,又如：考察

15、一項(xiàng)新技術(shù)對提高產(chǎn)品質(zhì)量是否有效。將新技術(shù)實(shí)施前后生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)分別看成正態(tài)總體 N(?1, ?12)和 N(?2, ?22)。這時(shí)，所考察的問題就歸結(jié)為檢驗(yàn)這兩個(gè)正態(tài)總體的均值 ?1和 ?2是否相等的問題。,設(shè)X1, X2, …, Xm與Y1, Y2, …, Yn 分別為抽自正態(tài)總體 N(?1, ?12)和 N(?2, ?22)的樣本，記,考查如下檢驗(yàn)假設(shè):,1. H0: ?1= ?2 ; H1: ?1≠?2,當(dāng) ?12 和

16、?22 已知時(shí)，根據(jù)定理7.5.1，有,當(dāng) H0: ?1 = ?2為真時(shí)，,故，拒絕域?yàn)?在?12=?22 =?2，?2未知情況下，根據(jù)定理7.5.1，有,當(dāng) H0: ?1=?2 為真時(shí)，有,拒絕域?yàn)?,從而,上面，我們假定 ?12=?22。當(dāng)然，這是個(gè)不得已而強(qiáng)加上去的條件，因?yàn)槿绻患哟藯l件，就無法使用簡單易行的 t 檢驗(yàn)。 在實(shí)用中，只要我們有理由認(rèn)為?12和?22相差不是太大，往往就可使用上述方法。通常是：如果

17、方差比檢驗(yàn)未被拒絕(見下節(jié)), 就認(rèn)為?12和?22相差不是太大。,說明,例3：假設(shè)有A和B兩種藥，欲比較它們在服用2小時(shí)后在血液中的含量是否一樣。對藥品A，隨機(jī)抽取8個(gè)病人服藥，服藥2小時(shí)后，測得8個(gè)病人血液中藥物濃度(用適當(dāng)?shù)膯挝?分別為: 1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1.76.對藥品B，隨機(jī)抽取6個(gè)病人服藥，服藥2小時(shí)后，測得血液中藥的濃度分別為: 1.76

18、, 1.41, 1.87, 1.49, 1.67, 1.81.假定這兩組觀測值抽自具有共同方差的兩個(gè)正態(tài)總體，在顯著性水?=0.10下，檢驗(yàn)病人血液中這兩種藥的濃度是否有顯著不同?,故，接受原假設(shè)。即, 認(rèn)為病人血液中這兩種藥濃度無顯著差異。,解：問題就是從總體 N(?1, ?2)和N(?2, ?2)中分別抽取樣本X1, X2,…, X8 和Y1, Y2,…, Y6，樣本均值和樣本方差分別為：,與1.的分析完全類似，可以得到:,2.

19、 單邊檢驗(yàn) H0: ?1≥?2; H1: ?1<?2,● ?12和?22已知情況下，H0的拒絕域?yàn)?● ?12與?22未知，但二者相等情況下，H0的 拒絕域?yàn)?與1.的分析完全類似，可以得到:,3. 單邊檢驗(yàn) H0: ?1≤?2; H1: ?1＞?2,● ?12和?22已知情況下，H0的拒絕域?yàn)?● ?12與?22未知，但二者相等情況下，H0的 拒絕域?yàn)?兩個(gè)正態(tài)總體與成對數(shù)據(jù)的區(qū)別兩個(gè)正態(tài)總體━━假定來自這

20、兩個(gè)正態(tài)總體 的兩組樣本，是相互獨(dú)立的。成對數(shù)據(jù)━━兩組樣本可以是來自對同一個(gè) 總體上的重復(fù)測量，它們是成對出現(xiàn)的，可 以是相關(guān)的。,8.2.3 成對數(shù)據(jù)的 t 檢驗(yàn),例如: 為了考察一種降血壓藥的效果，測試了n 個(gè)高血壓病人服藥前、后的血壓分別為X1, X2,…, Xn 和Y1,Y2,…,Yn。這里(Xi ,Yi)是第 i個(gè)病人服藥前和服藥后的血壓，它們是相關(guān)的。,處理成對數(shù)據(jù)的思路,因(Xi , Yi)是在同一人

21、身上觀測到的血壓。所以，Xi-Yi 就消除了人的體質(zhì)等諸方面的條件差異，僅剩下降血壓藥的效果。 所以，我們可以把 di=Xi-Yi，i=1, 2,…, n.看成抽自正態(tài)總體 N(? , ?2)的樣本。其中 ? 就是降血壓藥的平均效果。,一般的成對數(shù)據(jù)同樣也是這樣轉(zhuǎn)變的。從前面所學(xué)內(nèi)容可以看出：其實(shí)就是作 H0: μ = 0; H1: μ ≠0； H0: μ ≥0; H1: μ 0,方差?

22、2未知情況下的檢驗(yàn)。,上述三種檢驗(yàn)的拒絕域分別為：,例4：為了檢驗(yàn)A, B兩種測定鐵礦石含鐵量的方法是否有明顯差異, 現(xiàn)用這兩種方法測定了取自12個(gè)不同鐵礦的礦石標(biāo)本的含鐵量(%)，結(jié)果列于表 8.2.1中。取?=0.05, 問這兩種測定方法是否有顯著差異?,解: 將方法A和方法B的測定值分別記為X1, X2,…, X12 和 Y1, Y2,…, Y12 .,因這12個(gè)標(biāo)本來自不同鐵礦，所以, X1, X2,…, X12 不能看