[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)柴中林第18講

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第十八講,主講教師：柴中林副教授,中國(guó)計(jì)量學(xué)院理學(xué)院,從前面兩節(jié)的討論中可以看到:● 同一參數(shù)可以有幾種不同的估計(jì)，這時(shí)就需 要判斷采用哪一種估計(jì)為好的問(wèn)題?！?另一方面，對(duì)于同一個(gè)參數(shù)，用矩法和極大 似然法即使得到的是同一個(gè)估計(jì), 也存在衡 量這個(gè)估計(jì)優(yōu)劣的問(wèn)題。 估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則就是：評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量“好”與“壞”的標(biāo)準(zhǔn)。,§7.3 估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則,設(shè)總體的分

2、布參數(shù)為?，,對(duì)一切可能的? 成立,則稱 為? 的無(wú)偏估計(jì)。,7.3.1 無(wú)偏性,對(duì)于樣本 X1,X2,?,Xn的不同取值， 取不同的值 )。,如果 的均值等于?，即,簡(jiǎn)記為 是? 的一個(gè)估計(jì)(注意! 它是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，是隨機(jī)變量。,參數(shù)?，有時(shí)可能估計(jì)偏高，有時(shí)可能偏低，但是平均來(lái)說(shuō)它等于?。 “一切可能的? ”是指：在參數(shù)估計(jì)問(wèn)題中，參數(shù) ? 一切可能的取值。 我們之所以要求對(duì)一切可能的 ? 都

3、成立，是因?yàn)樵趨?shù)估計(jì)問(wèn)題中, 我們并不知道參數(shù)? 的真實(shí)取值。自然要求它在參數(shù)? 的一切可能取值的范圍內(nèi)都成立,說(shuō)明：無(wú)偏性的意義是：用估計(jì)量 估計(jì),例1：設(shè) X1, X2, …, Xn 為抽自均值為? 的總體X的隨機(jī)樣本，考慮 ? 的如下幾個(gè)估計(jì)量：,例如：若? 指的是正態(tài)總體N(? , ?2)的均值?,則其一切可能取值范圍是(-∞,∞)。若? 指的是方差?2，則其一切可能取值范圍是(0,∞)。,定理1：設(shè)總體 X 的均值為?

4、,方差為?2, X1,X2,…,Xn 為來(lái)自總體 X 的隨機(jī)樣本，記 與 分別為樣本均值與樣本方差，即,即樣本均值和樣本方差分別是 總體均值 和總體方差 的無(wú)偏估計(jì)。,證明：因?yàn)?X1, X2, …, Xn 獨(dú)立同分布，且E(Xi )=μ , 所以,另一方面，因,于是，有,注意到,前面兩節(jié)中，我們?cè)镁胤ê蜆O大似然法分別求得了正態(tài)總體 N(μ , σ2) 中參數(shù) σ2 的估計(jì),均為,很顯然，它不是 σ2 的無(wú)偏估計(jì)。

5、這正是我們?yōu)槭裁匆獙⑵浞帜感拚秊?n-1，獲得樣本方差 S2來(lái)估計(jì) σ2 的理由。,例2：求證：樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S 不是總體標(biāo)準(zhǔn)差? 的無(wú)偏估計(jì)。,證明：因 E(S2)=? 2，所以，Var(S)+[E(S)]2 =? 2，由 Var(S)＞0，知 [E(S)]2 = ? 2 - Var(S)＜ ? 2.所以，E(S)＜ ?.故，S 不是 ? 的無(wú)偏估計(jì)。,用估計(jì)量

6、 估計(jì)?，估計(jì)誤差,II. 均方誤差準(zhǔn)則,是隨機(jī)變量，通常用其均值衡量估計(jì)誤差的大小。 要注意: 為了防止求均值時(shí)正、負(fù)誤差相互抵消，我們先將其平方后再求均值，并稱其為均方誤差，記成 ，即,哪個(gè)估計(jì)的均方誤差小，就稱哪個(gè)估計(jì)比較優(yōu)，這種判定估計(jì)優(yōu)劣的準(zhǔn)則為“均方誤差準(zhǔn)則”。,注意：均方誤差可分解成兩部分:,證明：,,上式表明，均方誤差由兩部分構(gòu)成：第一部分是估計(jì)量的方差，第二部分是估計(jì)量的偏差的平

7、方和。,注意：如果一個(gè)估計(jì)量是無(wú)偏的，則第二部分是零，則有:,如果兩個(gè)估計(jì)都是無(wú)偏估計(jì)，這時(shí)哪個(gè)估計(jì)的方差小，哪個(gè)估計(jì)就較優(yōu)。這種判定估計(jì)量?jī)?yōu)劣的準(zhǔn)則稱為方差準(zhǔn)則。,例3：設(shè) X1, X2, …, Xn 為抽自均值為 ? 的總體,考慮 ? 的如下兩個(gè)估計(jì)的優(yōu)劣：,我們看到: 顯然兩個(gè)估計(jì)都是? 的無(wú)偏估計(jì)。計(jì)算二者的方差：,這表明：當(dāng)用樣本均值去估計(jì)總體均值時(shí)，使用全樣本總比不使用全樣本要好。,前面討論了參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)就是利用樣本

8、計(jì)算出的值 (即實(shí)軸上點(diǎn)) 來(lái)估計(jì)未知參數(shù)。,§7.4 正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)(一),其優(yōu)點(diǎn)是：可直地告訴人們 “未知參數(shù)大致是多少”；,缺點(diǎn)是：并未反映出估計(jì)的誤差范圍 (精度)。故，在使用上還有不盡如人意之處。,而區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這一不足之處 。,,例如：在估計(jì)正態(tài)總體均值 µ 的問(wèn)題中,若根據(jù)一組實(shí)際樣本，得到 µ 的極大似然估計(jì)為 10.12。,一個(gè)可以想到的估計(jì)辦法是：給出一個(gè)區(qū)間，并告

9、訴人們?cè)搮^(qū)間包含未知參數(shù) µ 的可靠度 (也稱置信系數(shù))。,實(shí)際上，µ 的真值可能大于10.12，也可能小于10.12。,也就是說(shuō)，給出一個(gè)區(qū)間，使我們能以一定的可靠度相信區(qū)間包含參數(shù) µ 。,這里的“可靠度”是用概率來(lái)度量的，稱為置信系數(shù)，常用 表示,置信系數(shù)的大小常根據(jù)實(shí)際需要來(lái)確定，通常取0.95或0.99，即,根據(jù)實(shí)際樣本，由給定的置信系數(shù)，可求出一個(gè)盡可能短的區(qū)間

10、 ，使,,為確定置信區(qū)間，我們先回顧前面給出的隨機(jī)變量的上α 分位點(diǎn)的概念。,,書(shū)末附有χ2分布、t 分布、F分布的上側(cè)分位數(shù)表可供使用。需要注意的地方在教材上均有說(shuō)明。,現(xiàn)在回到尋找置信區(qū)間問(wèn)題上來(lái)。,7.4.1 置信區(qū)間的定義,定義1：,實(shí)際應(yīng)用上，一般取 α = 0.05 或 0.01。,7.4.2 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),根據(jù)基本定理 (見(jiàn)定理6.4.1) ，知,,也可簡(jiǎn)記為,于是，µ 的置信區(qū)間為,例1: 某

11、廠生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度 X 服從 N(? , 0.04),現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取6個(gè)，長(zhǎng)度測(cè)量值如下(單位:毫米): 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1.求:µ 的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計(jì)。,解：n = 6，? = 0.05，z?/2 = z0.025 = 1.96，?2=0.22 .,所求置信區(qū)間為,當(dāng)方差未知時(shí)，取,● µ 的區(qū)間估計(jì),于是，

12、81; 的置信系數(shù)為1-α 的區(qū)間估計(jì)為,也可簡(jiǎn)記為,,● σ2 的區(qū)間估計(jì),例2：為估計(jì)一物體的重量μ，將其稱量10次,得到重量的測(cè)量值 (單位: 千克) 如下:10.l, 10.0, 9.8, 10.5, 9.7, l0.l, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9.設(shè)它們服從正態(tài)分布 N(? , ?2)。求? 的置信系數(shù)為0.95的置信區(qū)間。,解: n=10, ? =0.05, t9 (0.025)=2.26