[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第4講

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四講,主講教師：柴中林副教授,中國計量學(xué)院理學(xué)院,,顯然，有 P(A|B)=P(A).,這就是說：事件B發(fā)生，并不影響事件A發(fā)生的概率。這時，稱事件A與B相互獨立，簡稱獨立。,1.5.1 兩事件的獨立,A={第二次擲出6點}，B={第一次擲出6點}，,先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè),§1.5 事件的獨立性,由乘法公式知，當(dāng)事件A與B獨立時，有

2、 P(AB)=P(A) P(B).,用 P(AB)=P(A) P(B) 刻畫獨立性，比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好。,◎ 不受 P(B)>0 或 P(A)>0 的制約；,◎ 反映了事件A與 B的對等性。,定義1：若兩事件A, B滿足 P(AB)= P(A) P(B),則稱 A與B 相互獨立，或稱 A, B 獨立

3、。,兩事件獨立的定義,例1： 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 A={ 抽到K }, B={抽到黑色的牌}。,故, P(AB) = P(A)P(B).,解：由于 P(A) = 4/52 = 1/13,,這說明事件A, B獨立。,問事件A, B是否獨立？,P(AB) = 2/52 = 1/26。,P(B) = 26/52 = 1/2，,前面是根據(jù)兩事件獨立的定義得出A, B獨立的結(jié)論，我們也可以通過計算條件概率的辦法得到 A

4、, B獨立的結(jié)論。,續(xù)前例：從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 A={ 抽到K }, B={抽到黑色的牌}。,在實際應(yīng)用中, 往往根據(jù)問題的實際意義判斷兩事件是否獨立 。,由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13，故，P(A)= P(A|B)。 這也說明A, B獨立。,如：一批產(chǎn)品共 n 件，從中抽取2件，設(shè) Ai = {第 i 件是合格品}， i=1,2。,若抽取是有放回的,

5、 則A1與A2獨立。,其原因是：第二次抽取的結(jié)果受第一次抽取結(jié)果的影響。,其原因是: 第二次抽取的結(jié)果不受第一次抽取結(jié)果的影響。,若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立。,請問：如圖的兩個事件是否獨立？,即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 則 A與B不獨立。,其逆否命題是：若A與B獨立，且 P(A)>0, P(B)>0, 則 A與B一定不互斥。,而 P(A) ≠ 0, P(B) ≠

6、0。,故 A與B不獨立。,我們來計算：,因 P(AB)=0,,請問：能否在樣本空間Ω中找到兩個事件， 它們既相互獨立又互斥?,所以，Φ與Ω獨立且互斥。,不難發(fā)現(xiàn): Φ(或Ω)與任何事件都獨立。,答：能。,設(shè)A, B為互斥事件，且P(A)>0, P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：,前面我們看到獨立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，請看下列兩個練習(xí)。,1. P(B|A)>0， 2. P(A|B)=P(A)

7、，3. P(A|B)=0， 4. P(AB)=P(A)P(B)。,,設(shè)A, B為獨立事件，且P(A)>0, P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：,1. P(B|A)>0， 2. P(A|B)=P(A)，3. P(A|B)=0 ， 4. P(AB)=P(A)P(B)。,,,,= P(A) － P(AB),P(A )= P(A－ A B),A與B獨立

8、,,概率的性質(zhì),= P(A) － P(A) P(B),證明: 僅證A與 獨立。,,= P(A)[1 － P(B)]= P(A)P( ),,1.5.2 多個事件的獨立,先將兩事件獨立的定義推廣到三個事件上：,四個等式同時成立，則稱事件A, B, C相互獨立。,,推廣到 n個事件的獨立性定義, 可類似地給出: 設(shè)A1, A2,…, An 是 n個事件，如果對任意k( ), 任意

9、 ，等式,成立，則稱 n個事件A1, A2, …，An 相互獨立。,請注意多個事件兩兩獨立與事件兩兩相互獨立的區(qū)別與聯(lián)系,兩兩獨立,相互獨立,,對n(n>2)個事件,,?,多個相互獨立事件具有如下性質(zhì)：,◎ 若事件A1, A2, …, An相互獨立，則其中任意 k 個事件 也相互獨立；,◎ 若事件A1, A2, …, A

10、n相互獨立，則B1, B2, …, Bn也相互獨立，其中 Bi 或為Ai ，或為āi ， i=1, 2, …, n 。,對獨立事件，許多概率的計算可得到簡化。,例2: 甲乙丙三人同時向一靶子進行射擊，他們中靶的概率分別為0.3，0.5和0.4，求靶子被擊中的概率。,解：令 Ai分別表示甲乙丙三人擊中靶子， i=1,2，3 ，則P(A1∪A2∪A3）就表示靶子被擊中，于是,1.5.3 獨立性概念在計算

11、概率中的應(yīng)用,P(A1∪A2∪A3)= P(A1）+P(A2)+P(A3)- P(A1A2)- P(A1A3)- P(A2A3)+ P(A1A2A3)=0.3+0.5+0.4-0.3?0.5-0.3 ?0.4-0.5 ?0.4+0.3 ?0.5 ?0.4=0.79,,計算 n個獨立事件并的概率公式:,設(shè)事件 相互獨立, 則,P( A1∪…∪An ),也就是說: n個獨立事件至少有一個發(fā)生

12、的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積。,例3：驗收100件產(chǎn)品方案如下，從中任取3件進行獨立測試，如果至少有一件被斷定為次品，則拒絕接收此批產(chǎn)品。設(shè)一件次品經(jīng)測試后被斷定為次品的概率為0.95，一件正品經(jīng)測試后被斷定為正品的概率為0.99，并知這100件產(chǎn)品恰有4件次品。求該批產(chǎn)品能被接收的概率。,解: 設(shè) A={該批產(chǎn)品被接收}， Bi={取出3件產(chǎn)品中恰有i件是次品}， i = 0,1,2,3。

13、 則,因三次測試相互獨立，故 P(A|B0)=0.993， P(A|B1)=0.992(1-0.95), P(A|B2)=0.99(1-0.95)2, P(A|B3)= (1-0.95)3。 由全概率公式, 得,設(shè)A是某試驗的一個隨機事件，其發(fā)生的概率是p，將試驗重復(fù)獨立的進行n次，試驗中只關(guān)注A的發(fā)生與否。這樣的n次重復(fù)試驗稱為n重獨立試驗序列，也稱n重貝努利試驗。,在n重貝努利試驗中，我們只關(guān)心

14、A發(fā)生的次數(shù)。容易明白，次數(shù)可能的取值為0,1,2,…n。記A發(fā)生k次的概率為Pn(k)，則有,1.5.4 獨立實驗序列,例4：車間中有10臺同類型的機器在工作著，一天中每臺機器出故障的概率是0.3.求（1）一天中有3-5臺機器發(fā)生故障的概率（2）一天中至少有有2臺機器發(fā)生故障的概率.,解：把觀察一臺機器一天中是否出故障看作做一次試驗。因為各機器性能一樣，又沒有影響，故觀察所有機器相當(dāng)于做10重貝努利試驗，p=0.3.于是（1）

15、所求概率為P10(3)+ P10(4)+ P10(5)=C103 ?0.33 ?0.77+ C104 ?0.34 ?0.76+ C105 ?0.35 ?0.75?0.57. (2) 所求概率為P10(2)+ P10(3)+…+ P10(10)=1- P10(0)-P10(1)=1-C100 ?0.30 ?0.710+ C101 ?0.31 ?0.79 ?0.85.,例5：若干人獨立地向一移動目標(biāo)射擊,每人擊中目標(biāo)的概率都是0.6。

16、求至少需要多少人, 才能以0.99以上的概率擊中目標(biāo)?,解：設(shè)至少需要 n 個人才能以0.99以上的概率擊中目標(biāo)。 令A(yù)={目標(biāo)被擊中},Ai ={第i人擊中目標(biāo)}, i=1,2,…,n。則A1,A2,…,An 相互獨立。故， 也相互獨立。,因 A=A1∪A2∪…∪An， 得 P(A)= P(A1∪A2∪…∪An),問題化成了求最小的 n, 使1

17、-0.4n > 0.99。解不等式，得,第二章 隨機變量,隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量隨機變量函數(shù)的分布,隨機變量概念的產(chǎn)生,在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可用數(shù)量來表示，這就產(chǎn)生了隨機變量的概念。,§2.1 隨機變量,一方面，有些試驗，其結(jié)果與數(shù)有關(guān)(試驗結(jié)果就是一個數(shù))；,另一方面，有些試驗，其結(jié)果看起來與數(shù)值無關(guān)， 但可引進一個變量來表示試驗的各種結(jié)果。,即, 試驗結(jié)果可以數(shù)值化。,△ 試驗結(jié)

18、果與數(shù)值有關(guān)的例子,1. 擲一顆骰子，觀察其上面出現(xiàn)的點數(shù)；,4. 七月份北京的最高氣溫；,每天北京站下火車的人數(shù)；,3. 每年12月份北京發(fā)生交 通事故的次數(shù)；,5. 一部電梯一年內(nèi)出現(xiàn)故障的次數(shù)…。,△ 試驗結(jié)果看起來與數(shù)值無關(guān)，但可引進一個 變量來表示試驗的各種結(jié)果的例子,在投籃試驗中，用{0} 表示投籃未中，{1} 表示罰籃命中，{3} 表示三分線外遠(yuǎn)投命中，{2} 表示三分線內(nèi)投籃命中，則隨

19、機試驗結(jié)果可數(shù)值化。,2. 在擲硬幣試驗中，用{1} 表示帶國徽或人頭 的一面朝上，{0} 表示另一面朝上，則隨機 試驗的結(jié)果也可數(shù)值化。,這種隨機試驗結(jié)果與數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)學(xué)就是定義了一個實值函數(shù) X(ω), 使任一ω與一確定的實數(shù)X(ω)相對應(yīng),.,,,,,X,但X(ω) 與高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)不同。,◎ X(ω) 隨試驗結(jié)果的不同而取不同的值。故, 在試驗之前只知道其可能取值的范圍，而不能預(yù)知其取哪個具

20、體的值。,◎ 由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，所以 “ X(ω) 取每個值或某個確定范圍內(nèi)的值” 也有一定的概率。,稱這種定義在樣本空間Ω上的實值函數(shù)為隨機變量，簡記為 r.v. ( random variable ) 。,不同之處：,,隨機變量的取值一般用小寫字母 x, y, z 等表示。,隨機變量通常用英文大寫字母X,Y, Z 或希臘字母ζ,η等表示。,有了隨機變量，隨機試驗中的各種事件都可以通過隨機變量的關(guān)系式表達(dá)

21、出來。,引入隨機變量的意義,如：用 X 表示單位時間內(nèi)某信號臺收到呼叫的次數(shù)，則 X 是一個隨機變量。,事件 { 收到呼叫 }?{X ≥ 1}；,{沒有收到呼叫} ? {X=0},{收到3至8次呼叫} ? {3≤X ≤ 8},隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上重大的事件。引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴充到對隨機變量及其取值規(guī)律和概率的研究。,隨機變量的分類,(通常分兩大類)：,如“取到次品的個數(shù)”

22、， “收到的呼叫數(shù)”等。,隨機變量,,離散型隨機變量,連續(xù)型隨機變量,所有取值可以逐個列舉,如：“電視機的使用壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等。,全部可能取值不僅有無窮多，而且不能一一列舉，充滿某些區(qū)間。,這兩種類型的隨機變量因都是隨機變量，自然會有許多相同或相似之處；但因其取值方式不同，故又有其各自的特點。,學(xué)習(xí)時要注意它們各自的特點及描述方法。,小結(jié),本講首先給出事件獨立的概念、性質(zhì)定理及利用獨立性概念計算事件概率的實例