[學習]天津大學概率論與數(shù)理統(tǒng)計4.2方差

1、§4.2 方差,一、方差的定義和計算,二、方差的性質(zhì),1. 概念的引入,方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量取值分散程度的量.,實例 有兩批燈泡,其平均壽命都是 E(X)=1000時.,,,一、方差的定義和計算,設X是一隨機變量，若E{[X-E(X)]2} 存在，則稱其為隨機變量 X 的方差,記為D(X)或Var(X).即,2. 方差的定義,D(X ) —— 描述 隨機變量 X 的取值偏離均值 的平均偏離程度,

2、—— 數(shù),關(guān)于方差的定義和計算作如下的說明：,1) 為什么用 的均值 來衡量隨機變量X與均值 的分散程度？,如果用 加絕對值 的期望值來刻劃隨機變量 X 的分散程度，因計算不方便 ，故采用 的期望 來刻劃隨機變量X的分散程度。,方差是一個常用來體現(xiàn)隨機

3、變量 X 取值分散程度的量.,2) 方差的意義,如果 D(X) 值大,表示 X 取值分散程度大,E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小,則表示X 的取值比較集中,E(X) 的代表性好.,離散型隨機變量的方差,連續(xù)型隨機變量的方差,4. 隨機變量方差的計算,(1) 利用定義計算,證明,(2) 利用公式計算,例1 設甲、乙兩射手在同樣條件下進行射擊，其命中環(huán)數(shù)分 別用X、Y表示，分布律

4、分別為 X 10 9 8 7 Y10 9 8 7 0.5 0.1 0.2 0.2 0.4 0.3 0.1 0.2,,,,,解,故從平均水平看，甲、乙的技術(shù)水平不相上下，,由于E(X2)=80.7 , E(Y2)=80.5,于是 D(X)= E(X2)-[ E(X)] 2

5、 D(Y)= E(Y2)-[ E(Y)] 2,所以，從穩(wěn)定性來看，射手乙的技術(shù)水平略高于射手甲.,甲平均命中環(huán)數(shù):,試評定甲、乙的技術(shù)水平．,乙平均命中環(huán)數(shù):,E(X)=10?0.5+9?0.1+8? 0.2+7 ? 0.2=8.9 (環(huán))，,E(Y)=10?0.4+9?0.3+8? 0.1+7 ? 0.2=8.9 (環(huán))，,進一步考慮他們射擊的穩(wěn)定性，即D(X), D(Y),,=1.49,=1.29,解:,于是,例3 設

6、隨機變量X具有(0--1)分布, 則,E(X)= p, D(X)=p(1-p).,例4 設X~P(?) ,求 D(X),例5 設X~U(a,b) ,求 D(X),例6 設X服從參數(shù)為? 的指數(shù)分布,求E(X)， D(X),=?. ( E(X)= ?),= (b-a)2/12. (E(X)= (a+b)/2),= 1/,=1/ ?,2,?,,(假設下列方差均存在),推廣：設X1,…,Xn是n個

7、相互獨立的隨機變量，則,(1) D(C)=0, (C為常數(shù)),(2) D(C X)=C2 D(X), (C為常數(shù)),(3) D(X ? Y)=D(X)+D(Y) ? 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]},特別, 若X與Y相互獨立，則D(X ? Y)=D(X) + D(Y),,,二、方差的性質(zhì),(4) D(X)=0 ? P{X=C}=1 ,其中C=E(X).,一般的，D(aX+b)=a2 D(X),

8、 (a,b為常數(shù)),(5)方差偏差程度最小性,例7 設隨機變量X有期望E(X)= ?, 方差D(X)=?2?0.,記,則,-------稱為X的標準化變量，,例8 設X1,...,Xn相互獨立，且服從同一參數(shù)為 p 的 (0-1)分布, 證明： X= X1+...+Xn服從參數(shù)為n, p的二項分布, 并求 E(X)，D(X).,例2 設X ~ B( n , p)，求D(X ).,解一 仿照上例求D (X ).,解二 引入隨機

9、變量,相互獨立，,故,例2,例3 設 X ~ N ( ?, ? 2), 求 D( X ),解,例3,例9 設X~N(?, ?2 ) , 則E(X)= ? , D(X)= ?2 .,, 則 E(Z)=0 , D(Z)=1 .,推廣: Xi ~ N(?i , ? i2 ) , (i=1,2,…n), 則,特別,服從正態(tài)分布的隨機變量的分布完全由其數(shù)學期望和方差所確定．,【注】,例10 設活塞的直徑（以cm計）

10、 ，氣缸的直徑 ,X與Y相互獨立.任取一只活塞, 任取一只氣缸,求活塞能裝入氣缸的概率．,解 由題意需求,由于,故有,例: (1)設隨機變量X與Y獨立, 且服從均值為1、標準差為 的正態(tài)分布,而Y服從標準正態(tài)方布, 試求隨機變量 Z=2X-Y+3 的概率密度函數(shù).,(2) 已知X,Y相互獨立同

11、服從分布,求,21,,,解: (1) 由題意知,,且X與Y相互獨立, 故X與Y的線性組合Z=2X-Y+3仍服從正態(tài)分布,,且,而,故,例4 已知X ,Y 相互獨立, 且都服從 N (0,0.5), 求 E( | X – Y | ).,解,故,例4,例7 已知 X 服從正態(tài)分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y =1 – 2 X , 求Y 的密度函數(shù).,解,例7,在已知某些分布類型

12、時,若知道其期望和方差,便常能確定分布.,例8 已知 X 的 d.f.為,其中 A ,B 是常數(shù)，且 E (X ) = 0.5.,求 A ,B. 設 Y = X 2, 求 E (Y ),D (Y ),例8,解 (1),,,,,(2),幾種重要隨機變量的數(shù)學期望及方差P119,二項分布 X~b(n,p),泊松分布 X~P(?),分布 分布密度 數(shù)學期望E(X) 方差D(X),