[學(xué)習(xí)]天津大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ch

1、第二章隨機(jī)變量,隨機(jī)變量與分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,,,,,一、隨機(jī)變量,,,,,,隨機(jī)變量的特點(diǎn):,(1)隨機(jī)變量的全部可能取值是互斥且完備的。,(2)隨機(jī)變量的部分可能取值描述隨機(jī)事件。,14,隨機(jī)變量的分類：隨機(jī)變量,,,,,?,請舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子,,,,,二、 隨機(jī)變量的分布函數(shù),,,,,,,1、分布函數(shù)的概念,2、分布函數(shù)的性質(zhì),反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的任意實(shí)函數(shù)，必定

2、是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三條性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。,,,,,X落入開區(qū)間或閉區(qū)間或左閉右開的概率求法,,,,,,,,,,如何利用F(x)求出X取任一指定值a的概率P{X=a}呢,2024/3/26,24,,設(shè)隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)：,計(jì)算,例2,解,例1,2024/3/26,25,§2.2離散型隨機(jī)變量及其概率分布,定義,若隨機(jī)變量 X 的可能取值是有限個(gè)或可列個(gè), 則稱 X 為離散型隨機(jī)變量,描述X 的概率特

3、性常用概率分布或分布律,或,即,§2.2,分布律的性質(zhì),X ~,或,F( x) 是分段階梯函數(shù), 在 X 的可能取值 xk 處發(fā)生間斷, 間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn),在間斷點(diǎn)處有躍度 pk .,其中 .,解,例1 設(shè)汽車在開往甲地途中需經(jīng) 過 4 盞信號燈, 每盞信號燈獨(dú)立地 以概率 p 允許汽車通過.,首次停下時(shí)已通過的信號

4、燈盞數(shù), 求 X 的概率分布與 p = 0.4 時(shí)的分布函數(shù).,令 X 表示,例1,Ch2-31,(1) 0 – 1 分布,是否超標(biāo)等等.,凡試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果, 常用0 – 1,分布描述, 如產(chǎn)品是否合格、人,口性別統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)是否正常、電力消耗,0 < p < 1,或,(2) 二項(xiàng)分布,n 重Bernoulli 試驗(yàn)中, X 是事件A 在 n 次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù) , P (A) = p ,若,則稱 X 服從參數(shù)為n,

5、p 的二項(xiàng)分布，記作,0–1 分布是 n = 1 的二項(xiàng)分布,Ch2-33,例2: 某股票市場投資者有一份現(xiàn)值為25的股票，若股票的每次變化以概率0.55升1,以概率0.45降1. 每次變化是獨(dú)立的,試求5天后她賠了的概率.,,34,例3.從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率

6、.,解:(1)由題意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律為:,,,,,Ch2-35,例3: 某股票市場投資者有一份現(xiàn)值為25的股票，如果股票降到10或升到40，她決定拋出，若股票的每次變化以概率0.55升1,以概率0.45降1. 每次變化是獨(dú)立的,試求她賠了的概率.,,三、某射手對靶射擊，單發(fā)命中概率都為0.6，現(xiàn)他扔一個(gè)均勻的骰子，扔出幾點(diǎn)就對靶獨(dú)立射擊幾發(fā)，求他恰好命中兩發(fā)的概率。,,,,,(3) Poisson 分布,若,的P

7、oisson 分布.,在某個(gè)時(shí)段內(nèi)：,大賣場的顧客數(shù)；,某地區(qū)撥錯(cuò)號的電話呼喚次數(shù)；,市級醫(yī)院急診病人數(shù)；,某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).,①②③④⑤,一個(gè)容器中的細(xì)菌數(shù)；,一本書一頁中的印刷錯(cuò)誤數(shù)；,一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；,⑥⑦⑧,放射性物質(zhì)發(fā)出的 粒子數(shù)；,39,例5.設(shè)電話總機(jī)在某段時(shí)間內(nèi)接收到的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為3的泊松分布。求：（1）恰好接收到5次呼喚的概率；（2）接收到不超過5次呼喚的概率。,解:設(shè)X表

8、示電話總機(jī)接收到的呼喚次數(shù)，則,,,,,都可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流 , 若它們滿足一定的條件, 則稱為 Poisson 流, 在 長為 t 的時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù) Xt ~ P ( ?t ),例6 設(shè)一只昆蟲所生蟲卵數(shù)為隨機(jī)變量 X ,,例6,設(shè)各個(gè)蟲卵是否能發(fā)育成幼蟲是相互獨(dú)立的.,已知X ~ P(?)，且每個(gè)蟲卵發(fā)育,成幼蟲的概率為 p.,求一昆蟲所生的蟲卵發(fā)育成幼蟲數(shù) Y 的概率分布.,解,昆蟲,,X 個(gè)

9、蟲卵,,Y 個(gè)幼蟲,已知,,由全概率公式,故,Ch2-44,都可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流 , 若它們滿足一定的條件, 則稱為 Poisson 流, 在 長為 t 的時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù) Xt ~ P ( ?t ),Ch2-45,(4):幾何分布例3:假設(shè)你每期買一張彩票，并設(shè)中獎(jiǎng)的概率為p,求你第一次中獎(jiǎng)所需買的期數(shù)的分布律.(設(shè)每次是否中獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的).,Ch2-46,每周一題5(1),自動(dòng)生產(chǎn)線調(diào)整以后出現(xiàn)廢品

10、的概率為 p, 當(dāng)生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即重新進(jìn)行調(diào)整, 求在兩次調(diào)整之間的合格產(chǎn)品數(shù)的分布.,問 題,Ch2-47,進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p，令X表示直到出現(xiàn)第m次成功為止所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。,(5)帕斯卡分布,例3 一門大炮對目標(biāo)進(jìn)行轟擊,假定此目標(biāo)必須被擊中r 次才能被摧毀. 若每次擊中目標(biāo)的概率為p (0 < p < 1), 且各次轟擊相互獨(dú)立,一次次地轟擊直到摧毀目標(biāo)

11、為止.求所需轟擊次數(shù) X 的概率分布.,例3,,帕斯卡分 布,,Ch2-49,有N件產(chǎn)品，其中M件次品,N-M件正品,現(xiàn)從中任取n件,令X表示次品件數(shù),求X的分布律.,(6)超幾何分布,二項(xiàng)分布的取值情況,設(shè),由圖表可見 , 當(dāng) 時(shí)，,分布取得最大值,此時(shí)的 稱為最可能成功次數(shù),Ch2-51,設(shè),由圖表可見 , 當(dāng) 時(shí)，,分布取得最大值,二項(xiàng)分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)的定義與推導(dǎo),則

12、稱 為最可能出現(xiàn)的次數(shù),,,當(dāng)( n + 1) p ? 整數(shù)時(shí), 在 k = [( n + 1) p ] 處的概率取得最大值,例4 獨(dú)立射擊5000次, 命中率為0.001,,例4,解 (1) k = [( n + 1)p ],= [( 5000+ 1)0.001] =5,求 (1) 最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；,(2) 命中次數(shù)不少于1 次的概率.,(2) 令X 表示命中次數(shù),則 X ~ B(5000,0.0

13、01),本例啟示,Ch2-58,由此可見日常生活中“提高警惕, 防火,由于時(shí)間無限, 自然界發(fā)生地震、海,嘯、空難、泥石流等都是必然的，早晚的,同樣, 人生中發(fā)生車禍、失戀、患絕,癥、考試不及格、炒股大虧損等都是正常,現(xiàn)象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不開而,防盜”的重要性.,事，不用奇怪，不用驚慌.,跳樓自殺.,啟示,Poisson定理說明若X ~ B( n, p), 則當(dāng)n 較大，p 較小, 而 適中,

14、則可以用近似公式,問題 如何計(jì)算 ？,證,記,類似地, 從裝有 a 個(gè)白球，b 個(gè)紅球的袋中不放回地任取 n 個(gè)球, 其中恰有k 個(gè)白球的概率為,對每個(gè) n 有,結(jié) 論,超幾何分布的極限分布是二項(xiàng)分布,二項(xiàng)分布的極限分布是 Poisson 分布,Ch2-62,例：已知一本500頁的書上有100個(gè)錯(cuò)別字，假設(shè)每個(gè)錯(cuò)別字等可能地分布在每一頁，求指定的一頁至少有兩個(gè)錯(cuò)誤的概率.,由題

15、意,多少個(gè)產(chǎn)品？,例5,得 n +1 = 6 , n = 5,故每箱至少應(yīng)裝105個(gè)產(chǎn)品,才能符合要求.,應(yīng)用Poisson定理,在實(shí)際計(jì)算中,當(dāng) n ? 20, p ?0.05時(shí), 可用上述公式近似計(jì)算; 而當(dāng) n ? 100, np ?10 時(shí), 精度更好,0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368,1 0.305 0.377 0.37

16、2 0.370 0.368,2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184,3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061,4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015,在Poisson 定理中，,由此產(chǎn)生了一種離散型隨機(jī)變量的

17、概率分布— Poisson 分布,Ch2-67,5(2),已知運(yùn)載火箭在飛行中進(jìn)入其儀,器艙的宇宙粒子數(shù)服從參數(shù)為 2 的泊,松分布. 而進(jìn)入儀器艙的粒子隨機(jī)落,到儀器重要部位的概率為 0.1, 求落到,儀器重要部位的粒子數(shù)的概率分布 .,第五周,問題,解 (1) 設(shè) 需要配備 N 個(gè)維修工人,設(shè) X 為90 臺,設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)，則 X ~ B( 90, 0.01),自學(xué)（詳解見教材 P.61例6 ),附例,令,則,查附