[學(xué)習(xí)]天津大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、§4.3 協(xié)方差 相關(guān)系數(shù),一、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù),二、相關(guān)系數(shù)的意義,對于二維隨機(jī)變量(X ,Y ):,已知聯(lián)合分布,,邊緣分布,對二維隨機(jī)變量,除每個隨機(jī)變量各自的概率特性外, 相互之間還有某種聯(lián)系,問題是用一個怎樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系.,問題的提出,一、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù),反映了隨機(jī)變量 X , Y 之間的某種關(guān)系,設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，若 E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，則稱其為隨機(jī)變量X與Y的 協(xié)

2、方差，記為Cov(X,Y)．即,若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,稱,1. 定義,2. 說明,3. 協(xié)方差的計(jì)算公式,則,(1)若(X,Y)為離散型，,(2)若(X,Y)為連續(xù)型,其概率密度為f(x,y), 則,法一：,證明,法二：,4. 性質(zhì),(5) Cov(X,X)=D(X)；,(4) 若X與Y獨(dú)立，則 Cov(X, Y)=0.,例1 設(shè)(X,Y)具有概率密度,求 Cov(X,Y).,解：,解,例2

3、設(shè) ( X ,Y ) ~ ，求?XY,結(jié)論,即X ,Y 相互獨(dú)立,,X ,Y 不相關(guān),例2 設(shè) 求?XY,解,由上章§3.4例1知，X, Y相互獨(dú)立?? = 0，即?XY=0, 亦即X,Y不相關(guān)．由此知二維正態(tài)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立與不相關(guān)是等價的．,例3 已

4、知 設(shè) , 求,解,1. 問題的提出,二、相關(guān)系數(shù)的意義,解得,2. 相關(guān)系數(shù)的意義,例4,解,,(1),3. 注意,相互獨(dú)立,(2),4. 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),意義 |ρXY|=1當(dāng)且僅當(dāng)Y跟X幾乎有線性關(guān)系.這說明了相關(guān)系數(shù)的概率意義.ρXY并不是刻畫X,Y之間的“一般”關(guān)系,而是刻畫X,Y之間線性相關(guān)程度.,證(2),,,,,反之，若,,,,,,2024/3/26,21,例 設(shè)

5、隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布列為,試分析隨機(jī)變量(X,Y)的相關(guān)性和獨(dú)立性。,例 設(shè)(X,Y)均勻分布在以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，R為半徑的圓的內(nèi)部，試分析則隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)性和獨(dú)立性.,解：由已知得,故,又因?yàn)?所以,X與Y不相互獨(dú)立,故X,Y 既不相關(guān)也不相互獨(dú)立.,定義1 設(shè)X, Y為隨機(jī)變量, k, l為正整數(shù)，稱,§4.4 矩、 協(xié)方差矩陣,為X的k階原點(diǎn)矩( k階矩),為X的 k階中心矩;,為X和Y的k

6、+l 階混合矩;,為X和Y的k+l 階混合中心矩,[注],(1)E(X)是X的一階原點(diǎn)矩；,(2)D(X)是X的二階中心矩；,(3)Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.,定義2 設(shè)n維隨機(jī)變量 的二階混合中心矩都存在，稱矩陣,其中,顯然：協(xié)方差矩陣是對稱矩陣,為n維隨機(jī)變量 的協(xié)方差矩陣。,例 設(shè)