平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)

1、第三章 平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù),第一節(jié) 平均數(shù),平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)量，用來(lái)表明資料中各觀測(cè)值相對(duì)集中較多的中心位置。平均數(shù)主要包括有： 算術(shù)平均數(shù)（arithmetic mean） 中位數(shù)（median） 眾數(shù)（mode） 幾何平均數(shù)（geometric mean） 調(diào)

2、和平均數(shù)（harmonic mean）,一、算術(shù)平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)所得的商，簡(jiǎn)稱平均數(shù)或均數(shù)，記為。 算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計(jì)算。 (一)直接法 主要用于樣本含量n≤30以下、未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計(jì)算。,設(shè)某一資料包含n個(gè)觀測(cè)值： x1、x2、…、xn， 則樣本平均數(shù)可通過(guò)下式計(jì)算：

3、 其中，Σ為總和符號(hào)； 表示從第一個(gè)觀測(cè)值x1累加到第n個(gè)觀測(cè)值xn。當(dāng) 在意義上已明確時(shí)，可簡(jiǎn)寫(xiě)為Σx，（3-1）式可改寫(xiě)為：,,,,【例3.1】 某種公牛站測(cè)得10頭成年公牛的體重

4、分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均數(shù)。 由于 Σx=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49

5、 =5285， n=10,,,得： 即10頭種公牛平均體重為528.5 kg。 （二）加權(quán)法 對(duì)于樣本含量 n≥30 以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù)，計(jì)算公式為：,,,式中： —第i組的組中值； —第i組的次數(shù)； —

6、分組數(shù) 第i組的次數(shù)fi是權(quán)衡第i組組中值xi在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此將fi 稱為是xi的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。 【例3.2】 將100頭長(zhǎng)白母豬的仔豬一月窩重（單位：kg）資料整理成次數(shù)分布表如下，求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。,,,,,表3—1 100頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表,利用（3—2）式得： 即這100頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg。

7、計(jì)算若干個(gè)來(lái)自同一總體的樣本平均數(shù)的平均數(shù)時(shí)，如果樣本含量不等，也應(yīng)采用加權(quán)法計(jì)算。,,【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛 1500頭，其平均體重為750 kg ，而另一牛群有黑白花奶牛1200頭，平均體重為725 kg，如果將這兩個(gè)牛群混合在一起，其混合后平均體重為多少？ 此例兩個(gè)牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要計(jì)算兩個(gè)牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個(gè)牛群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個(gè)牛群平均體重的加權(quán)平均數(shù)，即,即兩個(gè)牛群混合后平均

8、體重為738.89 kg。 （三）平均數(shù)的基本性質(zhì) 1、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零。 或簡(jiǎn)寫(xiě)成,,,,2、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。 (xi- )2 < (xi- a)2 （常數(shù)a≠ ） 或簡(jiǎn)寫(xiě)為：

9、 < 對(duì)于總體而言，通常用μ表示總體平均數(shù)，有限總體的平均數(shù)為：,,,,,,式中，N表示總體所包含的個(gè)體數(shù)。 當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于所估計(jì)的總體參數(shù)時(shí)，則稱此統(tǒng)計(jì)量為該總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。 統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用樣本平均數(shù)（ ）作為總體平均數(shù)（μ）的估計(jì)量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)μ的無(wú)偏估計(jì)量。,,二、中位數(shù) 將資料內(nèi)所有觀測(cè)值從

10、小到大依次排列，位于中間的那個(gè)觀測(cè)值，稱為中位數(shù)，記為Md。 當(dāng)觀測(cè)值的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則以中間兩個(gè)觀測(cè)值的平均數(shù)作為中位數(shù)。當(dāng)所獲得的數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時(shí)，中位數(shù)的代表性優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。 中位數(shù)的計(jì)算方法因資料是否分組而有所不同。,（一）未分組資料中位數(shù)的計(jì)算方法 對(duì)于未分組資料，先將各觀測(cè)值由小到大依次排列。,1、當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，(n+1)/2位置的觀測(cè)值，即x(n+1)/2為

11、中位數(shù)： Md= 2、當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為 偶 數(shù) 時(shí) ， n/2和（n/2+1）位置的兩個(gè)觀測(cè)值之和的1/2為中位數(shù)，即：,,,【例3.4】 觀察得9只西農(nóng)莎能奶山羊的妊娠天數(shù)為 144 、 145、 147、 149、150、151、153、156、157，求其中位數(shù)。 此例 n=9，為奇數(shù)，則： Md=

12、 =150（天） 即西農(nóng)莎能奶山羊妊娠天數(shù)的中位數(shù)為150天。,,【例3.5】 某犬場(chǎng)發(fā)生犬瘟熱，觀察得10只仔犬發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡分別為7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天，求其中位數(shù)。 此例n=10，為偶數(shù)，則：

13、 即10只仔犬從發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡天數(shù)的中位數(shù)為11.5天。 （二）已分組資料中位數(shù)的計(jì)算方法,,若資料已分組，編制成次數(shù)分布表，則可利用次數(shù)分布表來(lái)計(jì)算中位數(shù)，其計(jì)算公式為：

14、 式中：L — 中位數(shù)所在組的下限； i — 組距； f — 中位數(shù)所在組的次數(shù)； n — 總次數(shù)； c — 小于中數(shù)所在組的累加次數(shù)。,,【例3.6】 某奶牛場(chǎng)68頭健康母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間 整理成次數(shù)分布表如表 3—2 所示，求中位數(shù)。

15、 表3—2 68頭母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間 次數(shù)分布表,由表3—2可見(jiàn)：i=15，n=68，因而中位數(shù)只能在累加頭數(shù)為36所對(duì)應(yīng)的“57—71”這一組，于是可確定L=57，f=20，c=16，代入公式（3—5）得： 即奶牛頭胎分娩到第一次發(fā)情間隔

16、時(shí)間的中位數(shù)為70.5天。,,三、幾何平均數(shù) n 個(gè)觀測(cè)值相乘之積開(kāi) n 次方所得的方根，稱為幾何平均數(shù)，記為G。它主要應(yīng)用于畜牧業(yè)、水產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)分析，畜禽疾病及藥物效價(jià)的統(tǒng)計(jì)分析 。 如畜禽 、水產(chǎn)養(yǎng)殖的 增長(zhǎng)率，抗體的滴度，藥物的效價(jià)，畜禽疾病的潛伏期等，用幾何平均數(shù)比用算術(shù)平均數(shù)更能代表其平均水平。其計(jì)算公式如下：,,為了計(jì)算方便，可將各觀測(cè)值取對(duì)數(shù)后相加除以n，得lgG，再求lgG的反對(duì)數(shù)，即得G值，即

17、 【例3.7】 某波爾山羊群1997—2000年各年度的存欄數(shù)見(jiàn)表3—3，試求其年平均增長(zhǎng)率。,,表3—3 某波爾山羊群各年度存欄數(shù)與增長(zhǎng)率,利用（3—7）式求年平均增長(zhǎng)率 G= =lg-1[（-0.368-0.398–0.602）]

18、 =lg-1（-0.456）=0.3501 即年平均增長(zhǎng)率為0.3501或35.01%。,,四、眾 數(shù) 資料 中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)觀測(cè)值或次數(shù)最多一組的組中值，稱為眾數(shù)，記為M0。 如表2-3 所列 的 50枚受精種蛋出雛天數(shù)次數(shù)分布中，以22出現(xiàn)的次數(shù)最多，則該資料的眾數(shù)為22天。 又如 【例3.6】 所 列 出 的 次數(shù)分布表中，57—71這一

19、組次數(shù)最多，其組中值為64天，則該資料的眾數(shù)為64天。,五、調(diào)和平均數(shù) 資料中各觀測(cè)值倒數(shù)的 算術(shù)平均數(shù) 的倒數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)，記為H，即 調(diào)和平均數(shù)主要用于反映畜群不同階段的平均增長(zhǎng)率或畜群不同規(guī)模的平均規(guī)模。,,【例3.8】 某保種牛群不同世代牛群保種的規(guī)模分別為：0世代200頭，1世代

20、220頭，2世代210頭； 3世代190頭，4世代210頭，試求其平均規(guī)模。 利用（3—9）式求平均規(guī)模：

21、 即保種群平均規(guī)模為208.33頭。,,對(duì)于同一資料： 算術(shù)平均數(shù)>幾何平均數(shù)>調(diào)和平均數(shù) 上述五種平均數(shù)，最常用的是算術(shù)平均數(shù)。,第二節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差,一、標(biāo)準(zhǔn)差的意義 用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強(qiáng)弱受樣本資料中各觀測(cè)值變異程度的影響。僅用平均數(shù)對(duì)一

22、個(gè)資料的特征作統(tǒng)計(jì)描述是不全面的，還需引入一個(gè)表示資料中觀測(cè)值變異程度大小的統(tǒng)計(jì)量。,全距（極差）是表示資料中各觀測(cè)值變異程度大小最簡(jiǎn)便的統(tǒng)計(jì)量。但是全距只利用了資料中的最大值和最小值，并不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各觀測(cè)值的變異程度，比較粗略。當(dāng)資料很多而又要迅速對(duì)資料的變異程度作出判斷時(shí)，可以利用全距這個(gè)統(tǒng)計(jì)量。,為 了 準(zhǔn) 確 地 表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測(cè)值的變異程度 ，人們 首 先會(huì)考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求出各個(gè)觀測(cè)值與平均數(shù)的離差，（

23、 ） ，稱為離均差。 雖然離均差能表示一個(gè)觀測(cè)值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但因?yàn)殡x均差有正、有負(fù) ，離均差之和 為零，即（ ） = 0 ，因 而 不 能 用離均差之和Σ（ ）來(lái) 表 示 資料中所有觀測(cè)值的總偏離程度。,,為了解決離均差有正 、有負(fù)，離均差之和為零的問(wèn) 題 ， 可先求 離 均 差的絕 對(duì) 值 并 將 各 離 均 差 絕對(duì) 值 之 和 除以 觀 測(cè) 值 個(gè) 數(shù) n 求 得

24、 平 均 絕 對(duì) 離差，即Σ| |/n。雖然平均絕對(duì)離差可以表示資料中各觀測(cè)值的變異程度 ，但由于平均絕對(duì)離差包含絕對(duì)值符號(hào) ，使用很不方便，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用。,我們還可以采用將離均差平方的辦法來(lái)解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問(wèn)題。 先將各 個(gè)離 均差平方，即 ( )2 ，再求 離均差平方和 ， 即 ，簡(jiǎn)稱平方和，記為SS； 由 于 離差平方和 常 隨 樣 本 大 小

25、 而 改 變 ，為 了 消 除 樣 本大小 的 影 響 ， 用平方和 除 以 樣 本 大 小， 即 ，求出離均差平方和的平均數(shù) ；,,,,為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無(wú) 偏估計(jì)量，統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時(shí)，分母不用樣本含量n，而用自由度 n-1， 于是，我們 采 用統(tǒng)計(jì)量 表示資料的變異程度。 統(tǒng)計(jì)量

26、 稱 為 均 方 （ mean square縮寫(xiě)為MS）,又稱樣本方差，記為S2，即 S2=,,,,相應(yīng)的總體參數(shù)叫 總體方差 ，記為σ2。對(duì)于有限總體而言，σ2的計(jì)算公式為：,由于 樣本方差 帶有原觀測(cè)單位的 平方單位，在僅表示一個(gè)資料中各觀測(cè)值的變異程度而不作其它分析時(shí) ， 常需要與平均數(shù)配合使用 ，這 時(shí)應(yīng) 將平方單位還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計(jì)學(xué)上把樣本方差 S2 的平方根叫做樣本標(biāo)

27、準(zhǔn) 差，記為S，即：,,,,由于 所以上式可改寫(xiě)為：,,,,,,相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ。對(duì)于有限總體而言，σ的計(jì)算公式為： 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ。,,二、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法 （一）直接法 對(duì)于未分組或小樣本資料 ， 可直接利用（3—11）或（3-12）式來(lái)

28、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。,【例3.9】 計(jì)算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量： 450， 450， 500， 500， 500，550， 550， 550， 600， 600，650（g）的標(biāo)準(zhǔn)差。 此例n=10，經(jīng)計(jì)算得：Σx=5400，Σx2=2955000，代入（3—12）式得： 即10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量的 標(biāo)準(zhǔn)差 為65.828g。,,（二）加權(quán)法 對(duì)于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料，

29、可利用次數(shù)分布表，采用加權(quán)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算公式為： 式中，f為各組次數(shù)；x為各組的組中值；Σf = n為總次數(shù)。,,【例3.10】 利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次數(shù)分布表（見(jiàn)表3-4）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。 將表3-4中的Σf、Σfx、 代入（3—14）式得：

30、 即某 純 系 蛋 雞200枚 蛋 重的標(biāo)準(zhǔn)差為3.5524g。,,表3—4 某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布 及標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表,三、標(biāo)準(zhǔn)

31、差的特性 （一）標(biāo)準(zhǔn)差的大小，受資料中每個(gè)觀測(cè)值的影響，如觀測(cè)值間變異大，求得的標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則小。 （二）在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，在各觀測(cè)值加上或減去一個(gè)常數(shù)，其數(shù)值不變。 （三）當(dāng)每個(gè)觀測(cè)值乘以或除以一個(gè)常數(shù)a，則所得的標(biāo)準(zhǔn)差是原來(lái)標(biāo)準(zhǔn)差的a倍或1/a倍。,（四）在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料中約有68.26%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右一倍標(biāo)準(zhǔn)差（ ±S）范圍內(nèi)；約有95.43%的觀

32、測(cè)值在平均數(shù)左右兩倍標(biāo)準(zhǔn)差（ ±2S）范圍內(nèi)；約有99.73%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右三倍標(biāo)準(zhǔn)差（ ±3S） 范 圍內(nèi)。也就是說(shuō)全距近似地等于6倍標(biāo)準(zhǔn)差，可用（全距/6）來(lái)粗略估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差。,,第三節(jié) 變異系數(shù),變異系數(shù)是衡量資料中各觀測(cè)值變異 程度的另一個(gè)統(tǒng)計(jì)量 。 標(biāo) 準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值稱為 變異系數(shù)，記為C·V。 變異系數(shù)可以消除單位 和 （或）平 均數(shù)不同對(duì)

33、兩個(gè)或多個(gè)資料變異程度比較的影響。,變異系數(shù)的計(jì)算公式為： 【例3.11】 已知某良種豬場(chǎng)長(zhǎng)白成年母豬平均體重為 190kg， 標(biāo)準(zhǔn)差為10.5kg，而大約克成年母豬平均體重為196kg，標(biāo)準(zhǔn)差為8.5kg，試問(wèn)兩個(gè)品種的成年母豬，那一個(gè)體重變異程度大。,,由于，長(zhǎng)白成年母豬體重的變異系數(shù)： 大約克成年母