“三線合一”性質(zhì)的逆定理

1、一、等腰三角形的“三線合一三線合一”性質(zhì)的逆定理“三線合一三線合一”性質(zhì)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。逆定理：①如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的中線重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。②如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的高重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。③如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。簡言之：三角形中任意兩線合一，必能推導(dǎo)出它是一個(gè)等腰三角形。證明①：

2、已知:⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AD是BC邊上的中線，求證：⊿ABC是等腰三角形。分析：要證等腰三角形就是要證AB=AC，直接通過證明這兩條線所在的三角形全等不行，那就換種思路，在有中點(diǎn)的幾何證明題中常用的添輔助線的方法是“延長加倍”，即延長AD到E點(diǎn)，使AD=ED，由此問題就解決了。證明：延長AD到E點(diǎn)，使AD=ED，連接CE在⊿ABD和⊿ECD中AD=DE∠ADB=∠EDCBD=CD∴⊿ABD≌⊿ECD∴AB=CE∠BA

3、D=∠CED∵AD是∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠CAD∴∠CED=∠CAD∴AC=CE∴AB=AC∴⊿ABC是等腰三角形。三個(gè)逆定理中以逆定理②在幾何證明的應(yīng)用中尤為突出。證明②：已知:⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AD是BC邊上的高，求證：⊿ABC是等腰三角形。分析：通過（ASA）的方法來證明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形證明③：已知:⊿ABC中，AD是BC邊上的中線，又是BC邊上的高

4、，求證：⊿ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC邊上的垂直平分線，用（SAS）的方法來證明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形。（即垂直平分線的定理）二、“三線合一”的逆定理在輔助線教學(xué)中的應(yīng)用（1）逆定理②的簡單應(yīng)用例題1分析：由直角三角形的性質(zhì)可知道∠AQM=90，由此線段BQ滿足了逆定理2的條件，所以想到延長AQ交BC于點(diǎn)N。簡單證明：由添輔助線得出⊿ABN是等腰三角形∴Q點(diǎn)是AN的中點(diǎn)在Rt⊿中，

5、Q是中點(diǎn)∴QA=DQ∴得證。例題2如圖，在等腰⊿ABC中，∠C=90，如果點(diǎn)B到∠A的平分線AD的距離為5cm求AD的長。分析：已知條件滿足了逆定理2，所以延長BE和AC，交于點(diǎn)F。簡單證明：由所添輔助線可知⊿ABF是等腰三角形∴E點(diǎn)是BF的中點(diǎn)∴BF=2BE=10再由⊿ADC和⊿BFC的全等得出AD=BF結(jié)論求出。對已知條件的合理剖析，找出關(guān)鍵語句，滿足定理?xiàng)l件，添加適當(dāng)?shù)妮o助線來構(gòu)造等腰三角形，以達(dá)到解決問題的目的。（4）逆定理③的

6、簡單應(yīng)用（即垂直平分線的應(yīng)用）例題1（2006年寶山區(qū)中考模擬題）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2bx的圖像開口向下，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B，頂點(diǎn)A在直線y=x上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。證明:⊿AOB是等腰直角三角形分析：由拋物線的對稱性可添輔助線過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D及直線y=x的性質(zhì)，可以知道⊿AOB是等腰直角三角形。例題2如圖，以⊿ABC的邊AB，AC為邊分別向形外作正方形ABDE和ACFG，求證：若DF∥BC則AB=AC分析：從已知條件