經(jīng)典幾何習(xí)題參考答案

1、經(jīng)典幾何習(xí)題參考答案經(jīng)典幾何習(xí)題參考答案一概念題1歐幾里得的幾何原本的概要。答：在《幾何原本》中歐幾里得先對一些基本概念(如點、直線、平面等)給出了定義:1）點沒有部分2）線有長度但沒有寬度3）線的界限是點4）直線是同其中各點看齊的線5）面只有長度和寬度6）面的界限是線7）平面是與其上的直線看齊的那種面8）圓是包含在一條(曲)線里的那種平面圖形使得從其內(nèi)部某一點連到該線的所有直線(線段)都彼此相等并稱圓內(nèi)上述的那個點為圓的中心(簡稱圓心

2、)9）平行直線是在同一平面內(nèi)而且往兩個方向無限延長后在這兩個方向上都不會相交的直線。歐幾里得總共引入了119個定義承認(rèn)了五條公設(shè):1）等于同量的量是相等的2）等量加等量還是等量3）等量減等量還是等量4）能重合的量是全等的5）整體大于部分。接著歐幾里得再給出了五個公理:I.從每個點到每個其他的點必定可以引直線。II.每條直線都可以無限延長。III.以任意點作中心通過任何給定的另一點可以作一圓。IV.所有直角都相等。V.同平面內(nèi)如有一條直線

3、與另兩條直線相交且在前一條直線的某一側(cè)所交的兩內(nèi)角之和小于兩直角則后兩條直線無限延長后必在這一側(cè)相交。歐幾里得在此基礎(chǔ)上運用邏輯推斷導(dǎo)出了許許多多的命題(在《幾何原本》中包含了465個命題)從而構(gòu)成了歐幾里得幾何學(xué)。2Hilbert的歐幾里得幾何的公理系統(tǒng)概要。答：1899年Hilbert提出了歐氏幾何的一套完整的公理體系。首先他提出了八個基本概念其中三個是基本對象:點、直線、平面點、直線、平面五個是基本關(guān)系:點屬于屬于(或結(jié)合或結(jié)合)

4、直線直線點屬于點屬于(或結(jié)合或結(jié)合)平面平面一點在另兩點之間一點在另兩點之間兩線段合兩線段合同兩角合同兩角合同。這些基本概念應(yīng)服從下述五套公理:結(jié)合公理結(jié)合公理:共有8個。.對于兩個不同的點恒有一直線結(jié)合其中的每個點。1I.對于兩個不同的點至多有一直線結(jié)合其中的每個點。2I.每條直線上至少有兩個不同的點。1.3I于且在的已知一側(cè)。記為.)(kh???k???)()(khkh?????..2.4III)()(hkkh???.(三角形合同公

5、理)對于兩個三角形和若5IIIABCCBA???BAAB???則.CAAC???CABBAC??????CBAABC??????連續(xù)公理連續(xù)公理IV.(Dedkind公理)若線段兩端及其內(nèi)部的所有的點能被分為兩類具有AB下列性質(zhì):(1)每點恰屬一類屬于第一類屬于第二類AB(2)第一類中異于的每個點在和每個第二類點之間AA則必存在一點使得間的點都屬于第一類而之間的點都屬于CACCB第二類。稱點為Dedkind點或界點。由它所決定的分類叫做

6、一個Dedkind分割。C平行公理平行公理:V.(歐氏平行公理)對于任何直線和不在其上的任何點至多有一條直線aA過而且與直線共面但不相交。Aa從這些公理出發(fā)根據(jù)邏輯推斷所得出的一系列命題就構(gòu)成了歐氏幾何的全部內(nèi)容。3.試敘述非歐幾何的上半平面模型。ePoincar答：基本對象基本對象:取上半平面內(nèi)部的點（不包括軸上的點）x作為非歐幾何中的“點”取上半平面中以為圓心的上半開O圓周或者上半平面中與軸垂lx直的開直線作為非歐幾何中l(wèi)的“直線”

7、。基本關(guān)系基本關(guān)系：點在直線上；順序關(guān)系；合同關(guān)系?！包c在直線上”和“順序關(guān)系都能如圖中所示地去理解。PQR對于合同關(guān)系。我們先來定義上半平面中點的“對稱”變換。有兩種“對稱”:一種是關(guān)于與軸垂直的開直線的“對稱”它實際上就是點關(guān)于直線的xll鏡面反射如圖中的點被映至點；BB?另一種是關(guān)于以軸上的點為圓心為半徑的上半開圓周的“對稱”變xORl換它實際上就是關(guān)于圓周的反演它將點變到點使得lAA?2||||RAOOA???如果通過一系列的“