高中物理競賽中的高等數(shù)學

1、第1頁共21頁高中物理競賽中的高等數(shù)學一、微積分初步一、微積分初步物理學研究的是物質的運動規(guī)律，因此經常遇到的物理量大多數(shù)是變量，而要研究的正是一些變量彼此間的聯(lián)系這樣，微積分這個數(shù)學工具就成為必要的了考慮到，讀者在學習基礎物理課時若能較早地掌握一些微積分的初步知識，對于物理學的一些基本概念和規(guī)律的深入理解是很有好處的所以在這里先簡單地介紹一下微積分中最基本的概念和簡單的計算方法，在講述方法上不求嚴格和完整，而是較多地借助于直觀并密切地

2、結合物理課的需要至于更系統(tǒng)和更深入地掌握微積分的知識和方法，可在通過高等數(shù)學課程的學習去完成1函數(shù)及其圖形函數(shù)及其圖形11函數(shù)函數(shù)自變量和因變量自變量和因變量絕對常量和任意常量絕對常量和任意常量在數(shù)學中函數(shù)的功能是這樣定義的：有兩個互相聯(lián)系的變量x和y，如果每當變量x取定了某個數(shù)值后，按照一定的規(guī)律就可以確定y的對應值，那么稱y是x的函數(shù)，并記作：y=f(x)，（A1）；其中x叫做自變量，y叫做因變量，f是一個函數(shù)記號，它表示y和x數(shù)值

3、的對應關系有時把y=f(x)也記作y=y(x)如果在同一個問題中遇到幾個不同形式的函數(shù)，也可以用其它字母作為函數(shù)記號，如?(x)、ψ(x)等等①常見的函數(shù)可以用公式來表達，例如，，，，，等等()32yfxx???212axbx?cxcos2x?lnxxe在函數(shù)的表達式中，除變量外，還往往包含一些不變的量，如上面出現(xiàn)的和等，它們叫1322e?、、、、abc、、做常量；常量有兩類：一類如等，它們在一切問題中出現(xiàn)時數(shù)值都是確定不變的，這類常量

4、叫做絕對1322e?、、、、常量；另一類如a、b、c等，它們的數(shù)值需要在具體問題中具體給定，這類常量叫做任意常量在數(shù)學中經常用拉丁字母中最前面幾個（如a、b、c）代表任意常量，最后面幾個（x、y、z）代表變量當y=f(x)的具體形式給定后，就可以確定與自變量的任一特定值x0相對應的函數(shù)值f(x0)例如：（1）若y=f(x)=32x，則當x=2時y=f(2)=32(2)=1一般地說，當x=x0時，y=f(x0)=32x0（2）若，則當時，

5、()cyfxx??0xx?00()cfxx?12函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形在解析幾何學和物理學中經常用平面上的曲線來表示兩個變量之間的函數(shù)關系，這種方法對于直觀地了解一個函數(shù)的特征是很有幫助的作圖的辦法是先在平面上取一直角坐標系，橫軸代表自變量x，縱軸代表因變量（函數(shù)值）y=f(x)這樣一來，把坐標為（x，y）且滿足函數(shù)關系y=f(x)的那些點連接起來的軌跡就構成一條曲線，它描繪出函數(shù)的面貌圖A1便是上面舉的第一個例子y=f(x)=32x的圖

6、形，其中P1，P2，P3，P4，P5各點的坐標分別為：（2，1）、（1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各點連接成一根直線圖A2是第二個例子的圖形，其中P1，P2，P3，P4，P5()cyfxx??各點的坐標分別為：、、、、，各點連接成雙曲線的一支1(4)4c1(2)2c(1)c(2)2c(4)4c13物理學中函數(shù)的實例物理學中函數(shù)的實例反映任何一個物理規(guī)律的公式都是表達變量與變量之間的函數(shù)關系的下面舉幾個例子（1）勻速直線運

7、動公式：s=s0＋vt（A2）此式表達了物體作勻速直線運動時的位置s隨時間t變化的規(guī)律，在這里t相當于自變量x，s相當于因變量y，s是t的函數(shù)因此記作：s=s(t)＝s0＋vt，（A3）式中初始位置s0和速度v是任意常量，s0與坐標原點的選擇有關，v對于每個勻速直線運動有一定的值，但對于不同的勻速直線運動可以取不同的值圖A3是這個函數(shù)的圖形，它是一根傾斜的直線易知它的斜率等于v第3頁共21頁考慮下面這個函數(shù)：，（A18），這里除x＝1外

8、，計算任何其它地方的函數(shù)值都是沒有232()1xxyfxx?????困難的例如當時，，當，，等等0x?(0)2f?2x?(2)8f?但是若問x＝1時函數(shù)值f（1）＝？，就會發(fā)現(xiàn)，這時（A18）式的分子和分母都等于0，即！用00(1)0f?去除以0，一般地說是沒有意義的所以表達式（A18）沒有直接給出f（1），但給出了x無論如何接近1時的函數(shù)值來下表列出了當x的值從小于1和大于1兩方面趨于1時f（x）值的變化情況：表A1x與f(x)的變化

9、值的變化值x232xx??1x?232()1xxfxx????0.90.470.14.70.990.04970.014.970.9990.0049970.0014.9970.99990.00049970.00014.99971.10.530.15.31.010.5030.015.031.0010.0050030.0015.0031.00010.000500030.00015.0003從上表看，x值無論從哪邊趨近1時，分子分母的比值都趨于

10、一個確定的數(shù)值5，這便是x→1時f(x)的極限值其實計算f(x)值的極限無需這樣麻煩，只要將（A18）式的分子作因式分解：3x2x2＝(3x＋2)(x1)，并在x≠1的情況下從分子和分母中將因式(x－1)消去：；即可看出：x趨于1時，函(32)(1)()32(1)1xxyfxxxx????????數(shù)f(x)的數(shù)值趨于：31＋2＝5所以根據(jù)函數(shù)極限的定義，21132lim()lim51xxxxfxx???????22幾個物理學中的實例幾個

11、物理學中的實例（1）瞬時速度當一個物體作任意直線運動時，它的位置可用它到某個坐標原點O的距離s來描述在運動過程中s是隨時間t變化的，也就是說，s是t的函數(shù)：s＝s(t)函數(shù)s(t)表示的是這個物體什么時刻到達什么地方形象一些說，假如物體是一列火車，則函數(shù)s(t)就是它的一張“旅行時刻表”但是，在實際中往往不滿足于一張“時刻表”，還需要知道物體運動快慢的程度，即速度或速率的概念例如，當車輛駛過繁華的街道或橋梁時，為了安全，對它的速率就要有

12、一定的限制；一個上拋體（如高射炮彈）能夠達到怎樣的高度，也與它的初始速率有關，等等為了建立速率的概念，就要研究在一段時間間隔里物體位置的改變情況假設考慮的是從t＝t0到t＝t1的一段時間間隔，則這間隔的大小為：△t＝t1t0根據(jù)s和t的函數(shù)關系s（t）可知，在t0和t1＝t0△t兩個時刻，s的數(shù)值分別為s（t0）和s（t1）＝s（t0△t），即在t0到t1這段時間間隔里s改變了：△s＝s（t1）－s（t0）＝s（t0△t）－s（t0）在

13、同樣大小的時間間隔△t里，若s的改變量△s小，就表明物體運動得慢，所以就把與之比叫做這s?t?st??段時間間隔里的平均速率，用來表示，則，（A19），舉例說明如下v00()()sttstsvtt????????對于勻變速直線運動，根據(jù)（A4）式有和，2000001()2stsvtat???2000001()()()2sttsvttatt?????????；22200000000000000111[()()]()()()()()1222