求解通項公式的常用方法

1、1求解數(shù)列通項公式的常用方法求解數(shù)列通項公式的常用方法數(shù)列是高考中的重點內(nèi)容之一，每年的高考題都會考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數(shù)列的一種形式——通項公式，在求數(shù)列問題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項公式的常用方法。一一觀察法觀察法(猜想法猜想法)由數(shù)列的前幾項的特點觀察猜想出數(shù)列的通項公式，關(guān)鍵是找出各項與項數(shù)由數(shù)列的前幾項的特點觀察猜想出數(shù)列的通項公式，關(guān)鍵是找出各項與項數(shù)n的關(guān)系。的關(guān)系。例1：根據(jù)數(shù)列的前4項，寫

2、出它的一個通項公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）?171641093542211?5221321（4）（5））?54433221??246810315356399???析:（1）（2）（3）（4）.110??nna122???nnnan12??nan1)1(1?????nnann（5）????22121nnann???二、二、定義法定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型

3、的題目直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目例2等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式.??nanS931aaa255aS???na解：設(shè)數(shù)列公差為??na)0(?dd∵成等比數(shù)列，∴，即931aaa9123aaa?)8()2(1121daada???dad12??∵，∴………………………………①0?dda?1∵∴…………②255aS?211)4(2455dada?

4、????由①②得：，∴531?a53?dnnan5353)1(53?????點評：點評：利用定義法求數(shù)列通項時要注意不用錯定義，設(shè)法求出首項與公差（公比）后再寫出通項。三、累加法累加法（疊加法）（疊加法）求形如求形如（f(n)為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列）的數(shù)列通項，可用累加法，即令為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列）的數(shù)列通項，可用累加法，即令1()nnaafn???n=2，3，…n—1得到得到n—1個式子累加求得通項。個式子累

5、加求得通項。121321211()()()()(2)(3)(n1)(n)nnnnnaaaaaaaaaaaffff????????????????????????例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。na11211nnaana?????，na解：由得則121nnaan????121nnaan????評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)1n2aan1n????化為，進而求出1n2aan1n????所112232n1n1nna)aa()aa()

6、aa()aa(?????????????以數(shù)列的通項公式為。即得數(shù)列的通項公式。na2nan?an四、累積法（疊乘法）四、累積法（疊乘法）對形如對形如的數(shù)列的通項，可用累乘法，即令的數(shù)列的通項，可用累乘法，即令n=2，3，…n—1得到得到n—1個式子累乘求得通項。個式子累乘求得通項。1(n)nnafa??121321212()()()()1(211)(221)[2(2)1][2(1)1]135(23)(21)(12n1)2nnnnnaa

7、aaaaaaaannnnnn???????????????????????????????????????????3（1）證明：1111111122022111=22nnnnnnnnnnnasssssssssas???????????????????當時，由得所以又故是首項為，公差為2的等差數(shù)列（2）解：由（1）得11=22nnnssn????111221112nnnassnna?????????當n2時，當n時，不適合上式??n112

8、1221nannn????????????故六、構(gòu)造等差或等比數(shù)列法六、構(gòu)造等差或等比數(shù)列法有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當?shù)淖冃危瑯?gòu)造出一個新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而利用這有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當?shù)淖冃危瑯?gòu)造出一個新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而利用這個數(shù)列求其通項公式。個數(shù)列求其通項公式。1、形如、形如其中其中p，q均為常數(shù)均為常數(shù)1nnnpaapqa???解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)

9、兩邊取倒數(shù)后轉(zhuǎn)化為111111nnnnnnpqaqqapaapaap????????即例8：已知數(shù)列滿足，求證：是等差數(shù)列，并求的通項公式。??na11?a131???nnnaaa??????na1??na解：，，即?131???nnnaaa?3111???nnaa1113.nnaa???是首項為1，公差為3的等差數(shù)列。.???????na1?231??nan231??nan3、形如、形如（其中（其中p，q均為常數(shù)，均為常數(shù)，）。qpa

10、ann???1)0)1((??ppq解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。1()nnatpat????1qtp??例10:已知數(shù)列中，，，求.??na11?a321???nnaana解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為321???nnaa12()nnatat????123nnaatt?????)3(231????