數(shù)學(xué)中常用極限方法總結(jié)

1、【1】忽略高階無窮小方法。很多極限看起來很復(fù)雜，而且也不好使用洛必達(dá)法則，但是如果忽略掉次要部分，則會很容易計算。比如，忽略掉比x低的無窮小項后為√x√2x=1√2再比如斐波那契數(shù)列，忽略掉[(1√5)2]^n的次要項后，可以求得lima(n1)a(n)=(1√5)2再比如lim(x∞)(sinh(x)sinx)(2Cosh(x)3Cos(x))當(dāng)x∞的時候sinx和cosx是sinh(x)和cosh(x)的高階無窮小所以lim(x∞)

2、(sinh(x)sinx)(2Cosh(x)3Cos(x))=lim(x∞)sinh(x)2Cosh(x)=lim(x∞)(e^xe^(x))2(e^xe^(x))=lim(x∞)e^x2e^x=1【2】取對數(shù)與洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則是求極限的時候用的最多的方法，但是很多題目都會饒下彎子，需要先對代數(shù)式進(jìn)行一些變形，否則計算起來會越來越煩，常見的的代換包括取對數(shù)，等價無窮小代換，省略高階無窮小部分，在用完這些方法后，再使用洛必達(dá)法則，可以

3、有效的解決這類問題。比如這個直接用等價無窮小代換后會因為損失了高階無窮小導(dǎo)致結(jié)果不正確，取對數(shù)后就會化成容易計算的形式了lim(x∞)x^2ln(11x)x再做代換t=1x另外一個巧妙應(yīng)用是計算廣義積分，可以在很多地方找到這個方法，這里就不再寫了?！?】泰勒級數(shù)代換利用一個函數(shù)的泰勒級數(shù)來求極限是一個重要的方法，等價無窮小是泰勒級數(shù)的一個特例，而通常情況下，等價無窮小只適用于乘除的情況，但泰勒級數(shù)代換則可以適用于更多的情況，特別是包含加

4、減的情況。例如(tanxsinx)x^3在x0處的極限，這個可以使用多次洛必達(dá)求得，或提取sinx后用兩個等價無窮小代換，也可以用tanx和sinx的級數(shù)代入求得=(xx^33O(x^4)xx^36O(x^4))x^3=12但如果要求[tan(sin(tan(sinx))))sin(tan(sin(tan(x))))]x^7(x0)這個極限一般的方法就顯得無助了，基本上只能使用泰勒級數(shù)來做tan(sin(tan(sinx))))在x=0

5、處的冪級數(shù)展開為xx^33x^530(13x^7)210O(x^9)sin(tan(sin(tan(x))))在x=0處的冪級數(shù)展開為xx^33x^530(9x^7)70O(x^9)所以原式極限為115（當(dāng)然這個冪級數(shù)的展開式的計算量會很大）再比如求(√(1x)√(1x)2)x^2在x0處的極限用泰勒公式就比較簡單√(1x)~1x2x^28O(x^3)√(1x)~1x2x^28O(x^3)所以原式=(2x^242O(x^3))x^2=1

6、4經(jīng)?？赡苡玫降奶├占墧?shù)展開主要有正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，下面給出一個經(jīng)常被問到的極限的級數(shù)展開(1x)^(1x)在x=0處的級數(shù)展開為e(ex)2(11ex^2)24O(x^3)(11x)^x在x=0處的級數(shù)展開為1xlnx(1(lnx)^2)x^2O(x^3)【6】中值定理有些極限用常見的方法處理比較困難，但是可以很容易的看出這是某個函數(shù)在兩個很近的點處的割線的斜率或兩個點之間的面積，那么這個時候可以考慮使