函數與極限重點知識歸納

1、常量與變量常量與變量變量的定義變量的定義我們在觀察某一現象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化我們把其稱之為常量常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數值，我們則把其稱之為變量變量。注：注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。變量的表示變量的表示如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間區(qū)間來表示其變化范圍。在數軸上來說，區(qū)間區(qū)間是指介于某兩點之間

2、的線段上點的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號區(qū)間在數軸上的表示閉區(qū)間a≤x≤b[a，b]開區(qū)間a＜x＜b（a，b）半開區(qū)間a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：[a，∞)：表示不小于a的實數的全體，也可記為：a≤x＜∞；(∞，b)：表示小于b的實數的全體，也可記為：∞＜x＜b；(∞，∞)：表示全體實數R，也可記為：∞＜x＜∞注：注：其中∞和∞，分別讀作“負無窮大“和“

3、正無窮大“它們不是數僅僅是記號。鄰域鄰域設α與δ是兩個實數，且δ＞0.滿足不等式│xα│＜δ的實數x的全體稱為點α的δ鄰域，點α稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。函數函數的定義函數的定義如果當變量x在其變化范圍內任意取定一個數值時，量y按照一定的法則總有確定的數值與它對應，則稱y是x的函數函數。變量x的變化范圍叫做這個函數的定義域函數的定義域。通常x叫做自變量自變量，y叫做因變量因變量。注：為了表明y是x的函數，我們用記號y=f(x

4、)、y=F(x)等等來表示.這里的字母“f“、“F“表示y與x之間的對應法則即函數關系它們是可以任意采用不同的字母來表示的.注：注：如果自變量在定義域內任取一個確定的值時，函數只有一個確定的值和它對應，這種函數叫做單值函數，否則叫做多值函數。這里我們只討論單值函數。函數的有界性函數的有界性如果對屬于某一區(qū)間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個與x無關的常數，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。注意：注意：一個函

5、數，如果在其整個定義域內有界，則稱為有界函數例題：例題：函數cosx在(∞∞)內是有界的.函數的單調性函數的單調性有一值x0與之對應，即，那末變量x是變量y的函數.這個函數用來表示，稱為函數的反函數.注：注：由此定義可知，函數也是函數的反函數。反函數的存在定理反函數的存在定理若在(a，b)上嚴格增(減)，其值域為R，則它的反函數必然在R上確定，且嚴格增(減).注：注：嚴格增(減)即是單調增(減)例題：例題：y=x2，其定義域為(∞∞)，

6、值域為[0∞).對于y取定的非負值可求得x=.若我們不加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間(∞∞)上，函數不是嚴格增(減)，故其沒有反函數。如果我們加上條件，要求x≥0，則對y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0時的反函數。即是：函數在此要求下嚴格增(減).反函數的性質反函數的性質在同一坐標平面內，與的圖形是關于直線y=x對稱的。例題：例題：函數與函數互為反函數，則它們的圖形在同一直角坐標系中是關于直線y=x對稱的。如右圖所