高中數(shù)學(xué)排列組合經(jīng)典題型全面總結(jié)版

1、1高中數(shù)學(xué)排列與組合高中數(shù)學(xué)排列與組合（一）典型分類講解（一）典型分類講解一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由012345可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求應(yīng)該優(yōu)先安排以免不合要求的元素占了這兩個位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步計數(shù)原理得113434288CCA?練習(xí)題:7種不同的花種在排成一列的花盆里若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的

2、花盆里，問有多少不同的種法？二.相鄰元素捆綁策略相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排其中甲乙相鄰且丙丁相鄰共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個復(fù)合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法522522480AAA?乙甲丁丙練習(xí)題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為20三.不相鄰問題插空策略不相鄰問題插空策

3、略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈2個相聲3個獨唱舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位55A共有種不同的方法由分步計數(shù)原理節(jié)目的不同順序共有種46A5456AA練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為30四.定序問題

4、倍縮空位插入策略定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù)則共有不同排法種數(shù)是：7373AA(空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有1種坐法，則共有47A種方法。47A思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎（插入法)先排甲乙丙三個人共有1種排法再

5、把其余4四人依次插入共有方法練習(xí)題:10人身高各不相等排成前后排，每排5人要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？510C五.重排問題求冪策略重排問題求冪策略例5.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實習(xí)生分配到車間有7種分法.把第二名實習(xí)生分配到車間也有7種分依此類推由分步計數(shù)原理共有種不同的排法67練習(xí)題：1某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)

6、目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為42C14A34C13要求某幾個元素必須排在一起的問題可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素再與其它元素一起作排列同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理空模型處理允許重復(fù)的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的

7、元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為種nm3一班二班三班四班五班六班七班練習(xí)題：110個相同的球裝5個盒中每盒至少一有多少裝法？49C2.求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)100xyzw????3103C十一十一.正難則反總體淘汰策略正難則反總體淘汰策略例11.從0123456789這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù)

8、所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有只含有1個偶數(shù)的取法有和為偶數(shù)的取法共有。再淘汰和小于10的偶數(shù)共35C1255CC123555CCC?9種，符合條件的取法共有1235559CCC??練習(xí)題：我們班里有43位同學(xué)從中任抽5人正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種十二十二.平均分組問題除法策略平均分組問題除法策略例12.6本不同的書平均分成3堆每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法但這里出現(xiàn)重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象不妨記6本書為A

9、BCDEF，若第一步取AB第二步取CD第三222642CCC步取EF該分法記為(ABCDEF)則中還有(ABEFCD)(CDABEF)(CDEFAB)(EFCDAB)(EFABCD)共有222642CCC種取法而這些分法僅是(ABCDEF)一種分法故共有種分法。33A22236423CCCA練習(xí)題：1將13個球隊分成3組一組5個隊其它兩組4個隊有多少分法？（）544213842CCCA2.10名學(xué)生分成3組其中一組4人另兩組3人但正副班

10、長不能分在同一組有多少種不同的分組方法（1540）3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為______（）2222426290CCAA?十三十三.合理分類與分步策略合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共10名演員其中8人能能唱歌5人會跳舞現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目有多少選派方法解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)

11、進行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有種只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員種只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有2233CC112534CCC種，由分類計數(shù)原理共有種。2255CC22112223353455CCCCCCC??練習(xí)題：1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有342.3成人2小孩乘船游玩1號船最多乘3人2號船最多乘2人3號船只能乘1人他們?nèi)芜x2只船或3只船但小

12、孩不能單獨乘一只船這3人共有多少乘船方法.（27）本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：以3個全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)以3個全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果十四十四.構(gòu)造模型策略構(gòu)造模型策略將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）每份至少一個元素可以用m1塊隔板，插入n個元素排成一排的n1個空隙中，所有分法數(shù)為11mnC??有些排列組合問題正面直接考慮比較復(fù)雜而它的反面往往比較簡捷可以先求出